(3,0 pontos) Mostre que o polinômio de Legendre
P2(x)=12(-1+3 x^2)
é solução da equação diferencial ordinária
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+6 y=0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um polinômio de Legendre, que é P2(x) = 12(-1 + 3x^2) , e queremos mostrar que ele é solução da equação diferencial
(1 - x^2) y'' - 2x y' + 6y = 0
Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de P2(x) e substituir na equação para verificar se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de P2(x) . A derivada de uma função polinomial é feita aplicando a regra do poder:
P2'(x) = ddx ( 12(-1 + 3x^2) ) = 12 (0 + 6x) = 3x

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de P2(x) :
P2''(x) = ddx (3x) = 3

Passo 4

Com P2(x) , P2'(x) e P2''(x) calculados, vamos substituir esses valores na equação diferencial:
(1 - x^2)(3) - 2x(3x) + 6 ( 12(-1 + 3x^2) ) = 0
Vamos simplificar cada termo:
  1. (1 - x^2)(3) = 3 - 3x^2
  2. -2x(3x) = -6x^2
  3. 6 times 12(-1 + 3x^2) = 3(-1 + 3x^2) = -3 + 9x^2
Agora, somando todos os termos:
3 - 3x^2 - 6x^2 - 3 + 9x^2 = (3 - 3) + (-3x^2 - 6x^2 + 9x^2) = 0 + 0 = 0

Resposta

Como a equação resultou em zero, mostramos que P2(x) = 12(-1 + 3x^2) é de fato solução da equação diferencial dada.

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