(3,0 pontos) Mostre que o polinômio de Legendre
é solução da equação diferencial ordinária
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um polinômio de Legendre, que é
, e queremos mostrar que ele é solução da equação diferencial
Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
e substituir na equação para verificar se a igualdade se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. A derivada de uma função polinomial é feita aplicando a regra do poder:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Passo 4
Com
,
e
calculados, vamos substituir esses valores na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo:
Agora, somando todos os termos:
Resposta
Como a equação resultou em zero, mostramos que
é de fato solução da equação diferencial dada.