Calcule integralegral duplaS(F n) d S onde
F(x, y)=lang<= x, y, 5rang<=
e S é o limite da região do cilindro x^2+y^2=1 delimitada pelos planos z=0 e x+Z=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa calcular a integral de superfície integral duplaS (F cdot n) , dS, onde o campo vetorial é F(x, y) = lang<= x, y, 5 rang<= e S é a superfície que limita o cilindro x^2 + y^2 = 1 entre os planos z = 0 e x + z = 2. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de F cdot n sobre S pode ser transformada em uma integral de volume da divergência de F sobre a região V limitada por S. Matematicamente, isso fica:
integral duplaS (F cdot n) , dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de F. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes do vetor:
nabla cdot F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial 5partial z = 1 + 1 + 0 = 2
Então, nabla cdot F = 2.

Passo 4

Com a divergência calculada, precisamos determinar o volume V do cilindro x^2 + y^2 = 1 entre z = 0 e x + z = 2. Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde x = r cos theta, y = r sin theta e z = z.
Os limites de integração ficam:
  • r vai de 0 a 1 (raio do cilindro)
  • theta vai de 0 a 2pi (completando o círculo)
  • z vai de 0 a 2 - r cos theta (já que x + z = 2 implica z = 2 - x = 2 - r cos theta)
Então, a integral de volume fica:
integral triplaV 2 , dV = 2 integral0^2pi integral0^1 integral0^2 - r cos theta r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integraremos em relação a z:
integral0^2 - r cos theta dz = (2 - r cos theta)
  1. Agora, integraremos em relação a r:
integral0^1 r (2 - r cos theta) , dr = integral0^1 (2r - r^2 cos theta) , dr = [ r^2 - r^33 cos theta ]0^1 = 1 - 13 cos theta
  1. Por fim, integraremos em relação a theta:
2 integral0^2pi (1 - 13 cos theta ) dtheta = 2 [ theta - 13 sin theta ]0^2pi = 2 (2pi - 0) = 4pi

Resposta

A integral de superfície integral duplaS (F cdot n) , dS é igual a 4pi.

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