Calcule
onde
e
é o limite da região do cilindro
delimitada pelos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
e
é a superfície que limita o cilindro
entre os planos
e
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de
sobre
pode ser transformada em uma integral de volume da divergência de
sobre a região
limitada por
. Matematicamente, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes do vetor:
Então,
.
Passo 4
Com a divergência calculada, precisamos determinar o volume
do cilindro
entre
e
. Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde
,
e
.
Os limites de integração ficam:
-
vai de 0 a 1 (raio do cilindro) -
vai de 0 a (completando o círculo) -
vai de 0 a (já que implica )
Então, a integral de volume fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integraremos em relação a
:
- Agora, integraremos em relação a
:
- Por fim, integraremos em relação a
:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.