Calcule integralegral duplaS f(x, y, z) d s onde f(x, y, z)=x^2 e S é superfície do cone z=raizx^2+y^2 com 0 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície de f(x, y, z) = x^2 sobre a superfície S que é o cone z = raizx^2 + y^2 com 0 <= z <= 1 . Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, mais especificamente sobre integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e como calcular o elemento de área dS .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do cone z = raizx^2 + y^2 . Esse cone pode ser representado de forma mais simples usando coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos x = rcostheta , y = rsintheta e z = r . Assim, o cone fica z = r .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície S usando r e theta como variáveis. Então, temos:
r(r, theta) = lang<= rcostheta, , rsintheta, , r rang<=
Aqui, r varia de 0 a 1 (porque z <= 1 ) e theta varia de 0 a 2pi .

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o elemento de área dS . Calculamos as derivadas parciais de r em relação a r e theta :
rr = partial rpartial r = lang<= costheta, , sintheta, , 1 rang<=
rtheta = partial rpartial theta = lang<= -rsintheta, , rcostheta, , 0 rang<=

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial rr times rtheta para encontrar o vetor normal à superfície:
rr times rtheta = i & j & k costheta & sintheta & 1 - rsintheta & rcostheta & 0 = lang<= - rcostheta, - rsintheta, r rang<=

Passo 6

O módulo desse vetor é necessário para o elemento de área:
| rr times rtheta | = raiz(-rcostheta)^2 + (-rsintheta)^2 + r^2 = raizr^2cos^2theta + r^2sin^2theta + r^2 = raiz2r^2 = rraiz2
Então, dS = rraiz2 , dr , dtheta .

Passo 7

Agora, substituímos f(x, y, z) = x^2 na parametrização:
x = rcostheta Rightarrow x^2 = r^2cos^2theta

Passo 8

Montamos a integral de superfície:
integral duplaS x^2 , dS = integral0^2pi integral0^1 r^2cos^2theta cdot rraiz2 , dr , dtheta = raiz2 integral0^2pi integral0^1 r^3cos^2theta , dr , dtheta

Passo 9

Vamos resolver a integral em r primeiro:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Então, a integral fica:
raiz2 cdot 14 integral0^2pi cos^2theta , dtheta = raiz24 integral0^2pi cos^2theta , dtheta

Passo 10

Sabemos que:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
Isso porque cos^2theta tem média 12 sobre o intervalo 0 a 2pi .

Passo 11

Substituindo de volta:
raiz24 cdot pi = piraiz24

Resposta

O valor da integral de superfície é piraiz24 .

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