Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície de sobre a superfície que é o cone com . Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, mais especificamente sobre integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e como calcular o elemento de área .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do cone . Esse cone pode ser representado de forma mais simples usando coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos , e . Assim, o cone fica .
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície usando e como variáveis. Então, temos:
Aqui, varia de 0 a 1 (porque ) e varia de 0 a .
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o elemento de área . Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial para encontrar o vetor normal à superfície:
Passo 6
O módulo desse vetor é necessário para o elemento de área: