Calcule A^2024 onde A é a matriz
A=[ccc 1 & 1 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^2024 onde
A = 1 & 1 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
O conteúdo principal é potência de matriz triangular (ou bloco–triangular). Vamos usar que, para
A = a & b 0 & D ,
com a escalar, b linha e D matriz quadrada, vale
A^n = a^n & sumk=0^n-1a^,n-1-kD^,kb 0 & D^n

Passo 2

Identificamos em A o bloco superior-esquerdo a=1, o bloco inferior-direito D=-I2 e a linha b=(1;1). Logo o bloco diagonal em A^n será
a^n = 1^n = 1, D^n = (-I2)^n = (-1)^n I2

Passo 3

Precisamos do somatório
Sn = sumk=0^n-11^,n-1-k(-I2)^,k = sumk=0^n-1(-1)^k,I2 = l(sumk=0^n-1(-1)^kr)I2
Para n par, sumk=0^n-1(-1)^k=0. Como 2024 é par, segue que S2024=0cdot I2=0.

Passo 4

Então o bloco superior–direito de A^2024 é
l(sumk=0^2023(-1)^kr),b = 0cdot(1;1) = (0;0)
E o bloco diagonal vale
1, (-1)^2024=1,(-1)^2024=1

Resposta

A^2024 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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