Suponha que |lll a & b & c d & e & f g & h & i |=4. Calcule o valor dos seguintes determinantes
(a) |ccc3 d & 3 e & 3 f a & b & c g & h & i|
(b) |lll2 a & -b & c / 4 2 d & -e & f / 4 2 g & -h & i / 4|
(c) |llla-c & 3 b & c d-f & 3 e & f g-i & 3 h & i|

Passo 1

O enunciado dá o determinante
D = |ccc a & b & c d & e & f g & h & i | = 4
e pede três outros determinantes. Vamos usar as propriedades de determinantes: fatoração de escalares em linhas ou colunas, troca de linhas (que muda o sinal) e linearidade em uma coluna.

Passo 2

Para
|ccc 3d & 3e & 3f a & b & c g & h & i |
trocamos a primeira e a segunda linha (ganhando um sinal “–”) e depois fatoramos 3 da nova segunda linha:
|ccc 3d & 3e & 3f a & b & c g & h & i | = - |ccc a & b & c 3d & 3e & 3f g & h & i | = -,3 |ccc a & b & c d & e & f g & h & i | = -3cdot 4 = -12

Passo 3

Para
|ccc 2a & -b & c/4 2d & -e & f/4 2g & -h & i/4 |
podemos fatorar 2 da primeira coluna, -1 da segunda e 1/4 da terceira, totalizando o fator
2cdot(-1)cdot14 = -12
Logo
|ccc 2a & -b & c/4 2d & -e & f/4 2g & -h & i/4 | = -12 |ccc a & b & c d & e & f g & h & i | = -tfrac12cdot4 = -2

Passo 4

Para
|ccc a-c & 3b & c d-f & 3e & f g-i & 3h & i |
note que a primeira coluna vale coluna 1 menos coluna 3 do determinante original. Pela linearidade numa coluna,
|ccc a-c & 3b & c d-f & 3e & f g-i & 3h & i | = |ccc a & 3b & c d & 3e & f g & 3h & i | - |ccc c & 3b & c f & 3e & f i & 3h & i |
No primeiro termo fatoramos 3 da segunda coluna, dando 3D=12. O segundo termo tem duas colunas iguais e vale zero. Portanto o valor é 12.

Resposta

(a) -12
(b) -2
(c) 12

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