Use a regra de Cramer para determinar a solução dos seguintes sistemas de equações
(a)
2 x1+x2-x3 & =7 x1-x2+2 x3 & =4 x1+x2+x3 & =6
(b)
x1+2 x2+3 x3 & =14 2 x1-x2+x3 & =3 x1+x2-x3 & =2

Passo 1

Temos dois sistemas lineares 3times3 e vamos usar a Regra de Cramer para cada um. A ideia é: seja
A,x=b,
onde A é a matriz de coeficientes, x=(x1,x2,x3)^T o vetor incógnita e b o vetor de termos constantes. A Regra de Cramer diz que, se det(A)neq0, então
xi = det(Ai)det(A),
onde Ai é obtida de A trocando a i-ésima coluna por b. Vamos aplicar isso primeiro ao sistema (a) e depois ao (b).

Passo 2

Sistema (a):
2x1+x2-x3=7, x1-x2+2x3=4, x1+x2+x3=6
Matriz de coeficientes
A = 2 & 1 & -1 1 & -1 & 2 1 & 1 & 1 ,
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det(A) =2l((-1)cdot1 - 2cdot1r) -1l(1cdot1 - 2cdot1r) +(-1)l(1cdot1 - (-1)cdot1r) =-7

Passo 3

Ainda no sistema (a), vamos calcular det(Ai) e xi.
  1. A1 troca a coluna 1 por o vetor (7,4,6):
A1= 7 & 1 & -1 4 & -1 & 2 6 & 1 & 1 , det(A1)=-23, x1=det(A1)det(A)=-23-7=237
  1. A2 troca a coluna 2:
A2= 2 & 7 & -1 1 & 4 & 2 1 & 6 & 1 , det(A2)=-11, x2=-11-7=117
  1. A3 troca a coluna 3:
A3= 2 & 1 & 7 1 & -1 & 4 1 & 1 & 6 , det(A3)=-8, x3=-8-7=87
Portanto a solução do sistema (a) é
(x1,x2,x3)=l(tfrac237,tfrac117,tfrac87r)

Passo 4

Sistema (b):
x1+2x2+3x3=14, 2x1-x2+x3=3, x1+x2-x3=2
Matriz de coeficientes
B = 1 & 2 & 3 2 & -1 & 1 1 & 1 & -1 ,
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det(B) =1l((-1)(-1)-1cdot1r) -2l(2(-1)-1cdot1r) +3l(2cdot1-(-1)cdot1r) =15

Passo 5

Para o sistema (b) calculamos det(Bi) e xi.
  1. B1 troca a coluna 1 por (14,3,2):
B1= 14 & 2 & 3 3 & -1 & 1 2 & 1 & -1 , det(B1)=25, x1=2515=53
  1. B2 troca a coluna 2:
B2= 1 & 14 & 3 2 & 3 & 1 1 & 2 & -1 , det(B2)=40, x2=4015=83
  1. B3 troca a coluna 3:
B3= 1 & 2 & 14 2 & -1 & 3 1 & 1 & 2 , det(B3)=35, x3=3515=73
Então a solução do sistema (b) é
(x1,x2,x3)=l(tfrac53,tfrac83,tfrac73r)

Resposta

(a) (x1,x2,x3)=l(tfrac237,tfrac117,tfrac87r)
(b) (x1,x2,x3)=l(tfrac53,tfrac83,tfrac73r)

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