Calcule integral duplaSlang<=F, nrang<= d S, onde F(x, y, z)=2 i+5 j+3 k e S é a parte do cone z =raizx^2+y^2 interior ao cilindro x^2+y^2=1, orientada com normal n tal que lang<=n, krang<=<0.

Passo 1

O enunciado pede a integral de fluxo
integral duplaSlang<= vec F,vec nrang<=,dS
onde vec F(x,y,z) = 2,vec i + 5,vec j + 3,vec k é constante, e S é a parte do cone
z = raizx^2 + y^2
para x^2+y^2<=1, com a orientação tal que a componente k do vetor normal é negativa (vetor normal “para baixo”). Vamos usar uma parametrização em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Parametrizamos S por
vec r(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;rr),
com 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi. Calculamos os vetores tangentes:
partialvec rpartial r = (costheta,;sintheta,;1), partialvec rpartialtheta = (-rsintheta,;rcostheta,;0)
O produto vetorial é
partialvec rpartial rtimespartialvec rpartialtheta = (-rcostheta,;-rsintheta,;r),
que aponta para cima ( k>0). Como queremos k<0, tomamos o contrário:
dvec S = -l(partialvec rpartial rtimespartialvec rpartialthetar),dr,dtheta = l(rcostheta,;rsintheta,;-rr),dr,dtheta

Passo 3

O fluxo é
integral duplaSvec Fcdot vec n,dS = integral duplasubstack0<= r<=10<=theta<=2pi llang<= (2,5,3),,(rcostheta,rsintheta,-r)rrang<= ,dr,dtheta
Calculamos o produto escalar:
2,(rcostheta) + 5,(rsintheta) + 3,(-r) = 2rcostheta +5rsintheta -3r
Assim
integral duplaSlang<=vec F,vec nrang<=,dS = integral0^2pi!integral0^1l(2rcostheta +5rsintheta -3rr),dr,dtheta

Passo 4

As integrais de rcostheta e rsintheta sobre thetain[0,2pi] anulam-se. Então resta
integral0^2pi!integral0^1(-3r),dr,dtheta = -3integral0^2pidtheta integral0^1r,dr = -3,(2pi),12 = -3pi

Resposta

-3pi

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