Resolva a equação de Legendre
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+lambda(lambda+1) y=0, -1 <= x <= 1,
pelo método de Frobenius em torno de x=0, obtendo duas soluções em série, uma para cada raiz da equação indicial (e tomando a1=0 ). Mostre que ambas as séries divergem para x= pm 1, a menos que lambda seja um inteiro >0, caso em que uma das séries converte em um polinômio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação de Legendre usando o método de Frobenius. A equação que temos é:
(1 - x^2) y'' - 2x y' + lambda(lambda + 1) y = 0, -1 <= x <= 1
Vamos precisar do método de Frobenius, que é uma técnica para encontrar soluções de equações diferenciais em torno de pontos singulares, como x = 0 nesse caso. Também vamos trabalhar com séries de potências e entender como elas se comportam nos extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução y(x) pode ser expressa como uma série de potências em torno de x = 0 :
y(x) = sumn=0^infty an x^n + r
Aqui, r é o expoente inicial que precisamos determinar usando a equação indicial, e an são os coeficientes que vamos achar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de y(x) :
y'(x) = sumn=0^infty an (n + r) x^n + r - 1
y''(x) = sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r - 2
Substituindo essas derivadas na equação de Legendre:
(1 - x^2) sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r - 2 - 2x sumn=0^infty an (n + r) x^n + r - 1 + lambda(lambda + 1) sumn=0^infty an x^n + r = 0

Passo 4

Vamos distribuir (1 - x^2) na primeira soma:
sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r - 2 - sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r
Agora, ajustamos os índices para que todas as séries tenham o mesmo expoente x^n + r . Isso facilita a comparação dos coeficientes.

Passo 5

Igualando os coeficientes de cada potência de x a zero, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes an . O termo com menor potência de x nos dá a equação indicial, que encontramos igualando a série com menor expoente a zero.
A equação indicial resulta em:
r(r - 1) = 0
Portanto, as raízes da equação indicial são r1 = 0 e r2 = 1 .

Passo 6

Agora, vamos construir as duas soluções em série correspondentes a cada raiz da equação indicial.
Para r1 = 0 :
y1(x) = sumn=0^infty an x^n
Para r2 = 1 :
y2(x) = x sumn=0^infty bn x^n
Como o enunciado pede para tomar a1 = 0 , seguiremos com isso na construção das séries.

Passo 7

Observamos o comportamento das séries nas extremidades x = pm 1 . Em geral, séries de potências tendem a divergir nas bordas do intervalo de convergência, a menos que seja possível truncar a série, ou seja, que ela se torne um polinômio finito.
Isso acontece apenas quando lambda é um inteiro positivo. Nesse caso, uma das séries se transforma em um polinômio, garantindo que a série não diverja nos pontos x = pm 1 .

Resposta

Portanto, resolvemos a equação de Legendre pelo método de Frobenius e obtivemos duas soluções em série centradas em x = 0 . Ambas as séries divergem para x = pm 1 , a menos que lambda seja um inteiro maior que zero. Quando lambda é um inteiro positivo, uma das séries se converte em um polinômio, evitando a divergência nos pontos extremos.

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