Resolva a equação de Legendre
pelo método de Frobenius em torno de
, obtendo duas soluções em série, uma para cada raiz da equação indicial (e tomando
). Mostre que ambas as séries divergem para
, a menos que
seja um inteiro
, caso em que uma das séries converte em um polinômio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação de Legendre usando o método de Frobenius. A equação que temos é:
Vamos precisar do método de Frobenius, que é uma técnica para encontrar soluções de equações diferenciais em torno de pontos singulares, como
nesse caso. Também vamos trabalhar com séries de potências e entender como elas se comportam nos extremos do intervalo.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser expressa como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
é o expoente inicial que precisamos determinar usando a equação indicial, e
são os coeficientes que vamos achar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo essas derivadas na equação de Legendre:
Passo 4
Vamos distribuir
na primeira soma:
Agora, ajustamos os índices para que todas as séries tenham o mesmo expoente
. Isso facilita a comparação dos coeficientes.
Passo 5
Igualando os coeficientes de cada potência de
a zero, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes
. O termo com menor potência de
nos dá a equação indicial, que encontramos igualando a série com menor expoente a zero.
A equação indicial resulta em:
Portanto, as raízes da equação indicial são
e
.
Passo 6
Agora, vamos construir as duas soluções em série correspondentes a cada raiz da equação indicial.
Para
:
Para
:
Como o enunciado pede para tomar
, seguiremos com isso na construção das séries.
Passo 7
Observamos o comportamento das séries nas extremidades
. Em geral, séries de potências tendem a divergir nas bordas do intervalo de convergência, a menos que seja possível truncar a série, ou seja, que ela se torne um polinômio finito.
Isso acontece apenas quando
é um inteiro positivo. Nesse caso, uma das séries se transforma em um polinômio, garantindo que a série não diverja nos pontos
.
Resposta
Portanto, resolvemos a equação de Legendre pelo método de Frobenius e obtivemos duas soluções em série centradas em
. Ambas as séries divergem para
, a menos que
seja um inteiro maior que zero. Quando
é um inteiro positivo, uma das séries se converte em um polinômio, evitando a divergência nos pontos extremos.