(2,0) Encontre a solução geral para y^prime prime-4 y=8 cos 2 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial y'' - 4y = 8 cos(2t) . Isso significa que queremos encontrar todas as funções y(t) que satisfazem essa equação. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar achar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é y'' - 4y = 0 . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Vamos resolver a equação característica. Substituímos y = e^rt na equação homogênea:
r^2 e^rt - 4 e^rt = 0 implies r^2 - 4 = 0
Resolvendo para r :
r^2 = 4 implies r = pm 2

Passo 4

Com as raízes r = 2 e r = -2 , a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(t) para a equação completa y'' - 4y = 8 cos(2t) . Como o lado direito é 8 cos(2t) , tentamos uma solução da forma:
yp(t) = A cos(2t) + B sin(2t)
onde A e B são constantes que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de yp(t) :
yp'(t) = -2A sin(2t) + 2B cos(2t)
yp''(t) = -4A cos(2t) - 4B sin(2t)
Substituindo yp(t) e yp''(t) na equação diferencial:
(-4A cos(2t) - 4B sin(2t)) - 4(A cos(2t) + B sin(2t)) = 8 cos(2t)
Simplificando:
-4A cos(2t) - 4B sin(2t) - 4A cos(2t) - 4B sin(2t) = 8 cos(2t)
-8A cos(2t) - 8B sin(2t) = 8 cos(2t)
Agora, igualamos os coeficientes das funções cos(2t) e sin(2t) :
-8A = 8 implies A = -1
-8B = 0 implies B = 0

Passo 7

Com A = -1 e B = 0 , a solução particular é:
yp(t) = -cos(2t)

Resposta

A solução geral da equação y'' - 4y = 8 cos(2t) é:
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t - cos(2t)
onde C1 e C2 são constantes reais.

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