Encontre a solução geral para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Isso significa que queremos encontrar todas as funções
que satisfazem essa equação. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar achar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Vamos resolver a equação característica. Substituímos
na equação homogênea:
Resolvendo para
:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, tentamos uma solução da forma:
onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes das funções
e
:
Passo 7
Com
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação
é:
onde
e
são constantes reais.