Calcule integralegral duplaS(x^2+y^2) d S, onde S é parte da esfera x^2+y^2+z^2=4, com z^2 >= x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS(x^2+y^2) d S, onde S é uma parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que satisfaz z^2 >= x^2+y^2. Isso envolve o conteúdo de integrais de superfície e coordenadas esféricas. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por (rho, theta, phi), onde:
  • rho é a distância do ponto até a origem,
  • theta é o ângulo no plano xy (como a longitude),
  • phi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (como a latitude).
Para nossa esfera, a equação x^2+y^2+z^2=4 indica que o raio rho é constante e igual a 2, ou seja, rho = 2.

Passo 3

Agora, vamos expressar x^2+y^2 em coordenadas esféricas. Sabemos que:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
Então:
x^2 + y^2 = (rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2 = rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) = rho^2 sin^2phi
Como rho = 2, fica:
x^2 + y^2 = 4 sin^2phi

Passo 4

Vamos encontrar a expressão para dS, o elemento de área na esfera. Em coordenadas esféricas, para uma esfera de raio rho, temos:
dS = rho^2 sinphi , dphi , dtheta
Como rho = 2, então:
dS = 4 sinphi , dphi , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração. A condição z^2 >= x^2+y^2 pode ser reescrita usando coordenadas esféricas. Sabemos que:
z = rho cosphi
Então:
z^2 = 4 cos^2phi >= 4 sin^2phi
Dividindo ambos os lados por 4:
cos^2phi >= sin^2phi
Isso implica que:
cos^2phi >= 1 - cos^2phi Rightarrow 2cos^2phi >= 1 Rightarrow cos^2phi >= 12 Rightarrow |cosphi| >= raiz22
Assim, phi varia de 0 a pi4 e de 3pi4 a pi.
Agora, montamos a integral:
integral duplaS (x^2 + y^2) dS = integral0^2pi integral0^pi4 4 sin^2phi cdot 4 sinphi , dphi , dtheta + integral0^2pi integral3pi4^pi 4 sin^2phi cdot 4 sinphi , dphi , dtheta
Mas, por simetria, as duas integrais são iguais, então podemos calcular uma e multiplicar por 2:
2 cdot integral0^2pi dtheta cdot integral0^pi4 16 sin^3phi , dphi
Integrando em theta:
2 cdot 2pi cdot 16 cdot integral0^pi4 sin^3phi , dphi = 64pi cdot integral0^pi4 sin^3phi , dphi
A integral de sin^3phi é:
integral sin^3phi , dphi = -sin^2phi cosphi3 + 23 sinphi + C
Aplicando os limites:
[-sin^2phi cosphi3 + 23 sinphi ]0^pi4 = (-(raiz22)^2 cdot raiz223 + 23 cdot raiz22) - 0 = (-12 cdot raiz223 + raiz23) = (-raiz212 + raiz23) = raiz24
Então, a integral total é:
64pi cdot raiz24 = 16pi raiz2

Resposta

O valor da integral é 16,pi,raiz2.

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