Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é uma parte da esfera que satisfaz . Isso envolve o conteúdo de integrais de superfície e coordenadas esféricas. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por , onde:
é a distância do ponto até a origem,
é o ângulo no plano xy (como a longitude),
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (como a latitude).
Para nossa esfera, a equação indica que o raio é constante e igual a 2, ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos expressar em coordenadas esféricas. Sabemos que:
Então:
Como , fica:
Passo 4
Vamos encontrar a expressão para , o elemento de área na esfera. Em coordenadas esféricas, para uma esfera de raio , temos:
Como , então:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração. A condição pode ser reescrita usando coordenadas esféricas. Sabemos que:
Então:
Dividindo ambos os lados por 4:
Isso implica que:
Assim, varia de a e de a .
Agora, montamos a integral:
Mas, por simetria, as duas integrais são iguais, então podemos calcular uma e multiplicar por 2: