Seja F=(z^2, z sin y, 2 z+a x z+b cos y). Determine a e b para que F seja conservativo. Com os valores de a e b encontrados determine uma função potencial para F.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um campo vetorial dado por F = (z^2, z sin y, 2 z + a x z + b cos y). A tarefa é encontrar os valores de a e b que fazem esse campo ser conservativo. Depois, com esses valores, a gente precisa achar uma função potencial para F.
Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial, ou seja, F = nabla phi. Além disso, em espaços onde o campo é definido e tem derivadas contínuas, um campo é conservativo se e somente se suas derivadas cruzadas são iguais (condição de integrabilidade). Vamos usar isso para encontrar a e b, e depois integrar para achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os componentes do campo vetorial F:
F = (Fx, Fy, Fz) = (z^2, z sin y, 2 z + a x z + b cos y)
Agora, vamos aplicar a condição de que F seja conservativo. Para isso, as derivadas parciais devem satisfazer:
partial Fxpartial y = partial Fypartial x
partial Fxpartial z = partial Fzpartial x
partial Fypartial z = partial Fzpartial y
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Vamos calcular partial Fxpartial y e partial Fypartial x:
partial Fxpartial y = partialpartial y (z^2) = 0
partial Fypartial x = partialpartial x (z sin y) = 0
Essa primeira condição já é satisfeita, então não nos dá informação sobre a e b.

Passo 4

Agora, vamos calcular partial Fxpartial z e partial Fzpartial x:
partial Fxpartial z = partialpartial z (z^2) = 2z
partial Fzpartial x = partialpartial x (2z + a x z + b cos y) = a z
Para que essas duas derivadas sejam iguais, temos:
2z = a z
Dividindo ambos os lados por z (assumindo z neq 0):
2 = a
Portanto, a = 2.

Passo 5

Por último, vamos calcular partial Fypartial z e partial Fzpartial y:
partial Fypartial z = partialpartial z (z sin y) = sin y
partial Fzpartial y = partialpartial y (2z + 2 x z + b cos y) = -b sin y
Igualando as duas derivadas:
sin y = -b sin y
Trazendo todos os termos para um lado:
sin y + b sin y = 0
Fatorando sin y:
sin y (1 + b) = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo y, precisamos que 1 + b = 0, ou seja:
b = -1

Resposta

Os valores que tornam F conservativo são a = 2 e b = -1. A função potencial correspondente é:
phi(x, y, z) = integral Fx , dx = integral z^2 , dx = z^2 x + g(y, z)
Agora, derivamos phi em relação a y e igualamos a Fy:
partial phipartial y = partialpartial y (z^2 x + g(y, z)) = partial gpartial y = z sin y
Então, integramos em relação a y:
g(y, z) = -z cos y + h(z)
Agora, a função potencial fica:
phi(x, y, z) = z^2 x - z cos y + h(z)
Derivamos phi em relação a z e igualamos a Fz:
partial phipartial z = 2z x - cos y + d hd z = 2z + 2x z - cos y
Comparando:
2z x - cos y + d hd z = 2z + 2x z - cos y
Vemos que 2z x e -cos y já estão iguais, então temos:
d hd z = 2z
Integrando:
h(z) = z^2 + C
Finalmente, a função potencial é:
phi(x, y, z) = z^2 x - z cos y + z^2 + C
Podemos simplificar:
phi(x, y, z) = z^2 (x + 1) - z cos y + C
Onde C é a constante de integração.

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