Seja
. Determine
e
para que
seja conservativo. Com os valores de
e
encontrados determine uma função potencial para
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um campo vetorial dado por
. A tarefa é encontrar os valores de
e
que fazem esse campo ser conservativo. Depois, com esses valores, a gente precisa achar uma função potencial para
.
Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial, ou seja,
. Além disso, em espaços onde o campo é definido e tem derivadas contínuas, um campo é conservativo se e somente se suas derivadas cruzadas são iguais (condição de integrabilidade). Vamos usar isso para encontrar
e
, e depois integrar para achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os componentes do campo vetorial
:
Agora, vamos aplicar a condição de que
seja conservativo. Para isso, as derivadas parciais devem satisfazer:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Essa primeira condição já é satisfeita, então não nos dá informação sobre
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Para que essas duas derivadas sejam iguais, temos:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Portanto,
.
Passo 5
Por último, vamos calcular
e
:
Igualando as duas derivadas:
Trazendo todos os termos para um lado:
Fatorando
:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, precisamos que
, ou seja:
Resposta
Os valores que tornam
conservativo são
e
. A função potencial correspondente é:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então, integramos em relação a
:
Agora, a função potencial fica:
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando:
Vemos que
e
já estão iguais, então temos:
Integrando:
Finalmente, a função potencial é:
Podemos simplificar:
Onde
é a constante de integração.