Determine:
O fluxo de
sobre
onde
e
é a parte superior da semi-esfera superior
orientada com a normal apontando para fora de
.
O fluxo de
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da parte superior da semi-esfera
, com a normal apontando para fora. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência: se fecharmos a região
como o meio-espaço limitado por
mais o disco
no plano
, então
Vamos (1) calcular
, (2) integrar sobre o volume da meia-esfera, (3) achar o fluxo pelo disco
e (4) isolar o fluxo em
.
Passo 2
Calcular a divergência
Derivando termo a termo,
e os demais termos não dependem da respectiva variável. Logo
Passo 3
Aplicar o Teorema da Divergência ao volume
. Em coordenadas esféricas
Calculando cada parte:
,
,
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Calcular o fluxo através do disco
, com a normal exterior ao volume
apontando para baixo,
. No disco
. Como
temos
. Logo
Passo 5
Do Teorema da Divergência,