Determine:
O fluxo de F sobre S onde F(x, y, z)=(z^2 x-e^y^2 z ln (1+z^2), x^2 y-cos (z^2 x), y^2 z-x^2) e S é a parte superior da semi-esfera superior S: z=raiz1-x^2-y^2 orientada com a normal apontando para fora de S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F através da parte superior da semi-esfera Scolon z=raiz1-x^2-y^2, com a normal apontando para fora. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência: se fecharmos a região V como o meio-espaço limitado por S mais o disco D no plano z=0, então
integral duplaS vec Fcdot n,dS ;+;integral duplaD vec Fcdot n,dS ;=;integral triplaVnablacdotvec F,dV
Vamos (1) calcular nablacdotvec F, (2) integrar sobre o volume da meia-esfera, (3) achar o fluxo pelo disco D e (4) isolar o fluxo em S.

Passo 2

Calcular a divergência
vec F(x,y,z)=l(z^2x - e^y^2zln(1+z^2),;x^2y-cos(z^2x),;y^2z - x^2r)
Derivando termo a termo,
partialpartial x(z^2x)=z^2, partialpartial y(x^2y)=x^2, partialpartial z(y^2z)=y^2,
e os demais termos não dependem da respectiva variável. Logo
nablacdotvec F = z^2 + x^2 + y^2

Passo 3

Aplicar o Teorema da Divergência ao volume Vcolon x^2+y^2+z^2<=1,;z>=0. Em coordenadas esféricas
integral triplaV (x^2+y^2+z^2),dV =integral0^2pi!integral0^pi/2!integral0^1r^2;(r^2sinphi),dr,dphi,dtheta =l(integral0^2pidthetar)l(integral0^pi/2sinphi,dphir)l(integral0^1r^4,drr)
Calculando cada parte:
integral0^2pidtheta=2pi,
integral0^pi/2sinphi,dphi=1,
integral0^1r^4,dr=tfrac15.
Portanto
integral triplaVnablacdotvec F,dV = 2picdot1cdottfrac15 = 2pi5

Passo 4

Calcular o fluxo através do disco Dcolon z=0,;x^2+y^2<=1, com a normal exterior ao volume V apontando para baixo, n=- k. No disco vec Fcdot(- k) = -F3(x,y,0). Como
F3(x,y,0)=y^2cdot0 - x^2 = -x^2,
temos vec Fcdot(- k)=x^2. Logo
integral duplaDvec Fcdot n,dS =integral duplax^2+y^2<=1x^2,dA =integral0^2pi!integral0^1(rcostheta)^2;r,dr,dtheta =l(integral0^2picos^2theta,dthetar)l(integral0^1r^3,drr) =picdottfrac14 =pi4

Passo 5

Do Teorema da Divergência,
integral duplaSvec Fcdot n,dS =integral triplaVnablacdotvec F,dV ;-;integral duplaDvec Fcdot n,dS =2pi5-pi4 =8pi-5pi20 =3pi20

Resposta

3pi20

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