Seja o campo F(x, y, z)=(2+z^2, x^3+ln (11+y^4), 2 x z+arctan (z^2+1)).
Mostre que rot F=(0,0,3 x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A questão nos pede para calcular o rotor (ou rotacional) do campo vetorial $ \vec{F}(x, y, z) = \left(2 + z^{2},, x^{3} + \ln\left(\frac{1}{1 + y^{4}}\right),, 2xz + \arctan\left(z^{2} + 1\right)\right) $ e mostrar que ele é igual a $ \left(0,0,3x^{2}\right) $. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotor de um campo vetorial e como calculá-lo usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotor de um campo vetorial. O rotor, ou rotacional, de um campo $ \vec{F} = (F_x, F_y, F_z) $ é dado por:
F = (Fx, Fy, Fz)
Isso significa que vamos calcular essas três componentes utilizando derivadas parciais.

Passo 3

Vamos identificar as partes do nosso campo $ \vec{F} $:
F
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária para encontrar o rotor.

Passo 4

Primeira componente do rotor:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z
Observamos que $ F_z = 2xz + \arctan(z^{2} + 1) $. A derivada de $ F_z $ em relação a $ y $ é:
Fz = 2xz + arctan(z^2 + 1)
Pois não há termo em $ y $ em $ F_z $.
Agora, $ F_y = x^{3} + \ln\left(\frac{1}{1 + y^{4}}\right) $. A derivada de $ F_y $ em relação a $ z $ é:
Fz
Portanto, a primeira componente do rotor é $ 0 - 0 = 0 $.

Passo 5

Segunda componente do rotor:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x
Primeiro, $ F_x = 2 + z^{2} $. A derivada de $ F_x $ em relação a $ z $ é:
Fx = 2 + z^2
Agora, $ F_z = 2xz + \arctan(z^{2} + 1) $. A derivada de $ F_z $ em relação a $ x $ é:
Fx
Assim, a segunda componente do rotor é $ 2z - 2z = 0 $.

Passo 6

Terceira componente do rotor:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y
Primeiro, $ F_y = x^{3} + \ln\left(\frac{1}{1 + y^{4}}\right) $. A derivada de $ F_y $ em relação a $ x $ é:
Fy = x^3 + ln(11 + y^4)
Agora, $ F_x = 2 + z^{2} $. A derivada de $ F_x $ em relação a $ y $ é:
Fy
Portanto, a terceira componente do rotor é $ 3x^{2} - 0 = 3x^{2} $.

Resposta

Juntando todas as componentes, o rotor de $ \vec{F} $ é:
F

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