Seja o campo
.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A questão nos pede para calcular o rotor (ou rotacional) do campo vetorial $ \vec{F}(x, y, z) = \left(2 + z^{2},, x^{3} + \ln\left(\frac{1}{1 + y^{4}}\right),, 2xz + \arctan\left(z^{2} + 1\right)\right) $ e mostrar que ele é igual a $ \left(0,0,3x^{2}\right) $. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotor de um campo vetorial e como calculá-lo usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotor de um campo vetorial. O rotor, ou rotacional, de um campo $ \vec{F} = (F_x, F_y, F_z) $ é dado por:
Isso significa que vamos calcular essas três componentes utilizando derivadas parciais.
Passo 3
Vamos identificar as partes do nosso campo $ \vec{F} $:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária para encontrar o rotor.
Passo 4
Primeira componente do rotor:
Observamos que $ F_z = 2xz + \arctan(z^{2} + 1) $. A derivada de $ F_z $ em relação a $ y $ é:
Pois não há termo em $ y $ em $ F_z $.
Agora, $ F_y = x^{3} + \ln\left(\frac{1}{1 + y^{4}}\right) $. A derivada de $ F_y $ em relação a $ z $ é:
Portanto, a primeira componente do rotor é $ 0 - 0 = 0 $.
Passo 5
Segunda componente do rotor:
Primeiro, $ F_x = 2 + z^{2} $. A derivada de $ F_x $ em relação a $ z $ é:
Agora, $ F_z = 2xz + \arctan(z^{2} + 1) $. A derivada de $ F_z $ em relação a $ x $ é:
Assim, a segunda componente do rotor é $ 2z - 2z = 0 $.
Passo 6
Terceira componente do rotor:
Primeiro, $ F_y = x^{3} + \ln\left(\frac{1}{1 + y^{4}}\right) $. A derivada de $ F_y $ em relação a $ x $ é:
Agora, $ F_x = 2 + z^{2} $. A derivada de $ F_x $ em relação a $ y $ é:
Portanto, a terceira componente do rotor é $ 3x^{2} - 0 = 3x^{2} $.
Resposta
Juntando todas as componentes, o rotor de $ \vec{F} $ é: