Exercício 4. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma
sumn=1^infty pi^n3^n+1

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty pi^n3^n+1
e, se for convergente, calcular sua soma. O conteúdo aqui é séries geométricas e usaremos o critério de convergência para esse tipo de série.

Passo 2

Escrevemos o termo geral de forma a evidenciar a razão geométrica. Para isso, note que
pi^n3^n+1 = 13,pi^n3^n = 13l(pi3r)^n

Passo 3

Reconhecemos então uma série geométrica de primeiro termo
a = 13l(pi3r)^1 = pi9
e razão
r = pi3

Passo 4

O critério de convergência para séries geométricas diz que ela converge somente se lvert rrvert<1. Aqui
lvert rrvert = pi3 > 1
pois piapprox3,14. Logo a série não satisfaz o critério de convergência e diverge.

Resposta

A série diverge.

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