Calcule integralegral duplaS F cdot eta d S, onde F(x, y, z)=(x, y, 0) e S é a parte do parabolóide z=x^2+y^2+1 limitado pelo cilindro x^2+y^2=9 e orientado por eta tal que eta cdot k<0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot eta , dS, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (x, y, 0) e a superfície S é parte do paraboloide z = x^2 + y^2 + 1, limitada pelo cilindro x^2 + y^2 = 9. Além disso, a orientação da normal eta deve satisfazer eta cdot k < 0. Para resolver isso, vamos usar cálculos de integrais de superfície e entender como aplicar conceitos de vetores e geometria espacial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. Ela é a parte do paraboloide z = x^2 + y^2 + 1 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9. Isso significa que x e y variam de tal forma que x^2 + y^2 <= 9, ou seja, o raio no plano xy vai de 0 até 3.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor normal à superfície S. Para isso, vamos usar a fórmula para superfícies parametrizadas. A equação do paraboloide pode ser reescrita como z = f(x, y) = x^2 + y^2 + 1. A normal pode ser calculada usando as derivadas parciais de f:
eta = (-fx, -fy, 1)raizfx^2 + fy^2 + 1
Onde fx e fy são as derivadas parciais de f em relação a x e y.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
fx = partial zpartial x = 2x
fy = partial zpartial y = 2y
Então, o vetor normal não normalizado fica:
eta = (-2x, -2y, 1)

Passo 5

Precisamos garantir que a orientação da normal satisfaz eta cdot k < 0, onde k = (0, 0, 1). Calculando o produto escalar:
eta cdot k = 1
Isso é maior que zero, então precisamos inverter a direção da normal para que seja negativa:
eta = (2x, 2y, -1)

Passo 6

Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS F cdot eta , dS = integral duplaD F(x, y, z) cdot eta , raiz(2x)^2 + (2y)^2 + (-1)^2 , dx , dy
Mas como F = (x, y, 0), o produto escalar simplifica para:
F cdot eta = x cdot 2x + y cdot 2y + 0 cdot (-1) = 2x^2 + 2y^2

Passo 7

A área diferencial dS para o paraboloide é dada por:
dS = raiz4x^2 + 4y^2 + 1 , dx , dy
Mas para simplificar, podemos usar coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta. Nesse caso, dA = r , dr , dtheta.

Passo 8

Convertendo tudo para coordenadas polares, temos:
integral duplaS F cdot eta , dS = integral0^2pi integral0^3 (2r^2 cos^2theta + 2r^2 sin^2theta) cdot raiz4r^2 + 1 cdot r , dr , dtheta
Simplificando a expressão dentro da integral:
2r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = 2r^2
Então a integral fica:
integral0^2pi integral0^3 2r^2 cdot raiz4r^2 + 1 cdot r , dr , dtheta = 2 integral0^2pi integral0^3 r^3 raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta

Passo 9

Vamos calcular a integral interna em r. Seja u = 4r^2 + 1, então du = 8r , dr, ou seja, r , dr = du8. Quando r = 0, u = 1, e quando r = 3, u = 4(9) + 1 = 37.
A integral interna se transforma em:
2 integral0^2pi ( integral1^37 (u - 1)4 cdot raizu cdot du8 ) dtheta
Simplificando os constantes:
2 cdot 132 integral0^2pi integral1^37 (u - 1) raizu , du , dtheta = 116 integral0^2pi integral1^37 (u^3/2 - u^1/2) , du , dtheta

Passo 10

Calculando a integral em u:
integral (u^3/2 - u^1/2) , du = 25 u^5/2 - 23 u^3/2 + C
Avaliada de 1 a 37:
[ 25 (37)^5/2 - 23 (37)^3/2 ] - [ 25 (1)^5/2 - 23 (1)^3/2 ]
Calculando os valores:
25 (37)^5/2 - 23 (37)^3/2 - ( 25 - 23 ) = 25 (37)^5/2 - 23 (37)^3/2 - ( -415 )

Passo 11

Agora, integraremos em theta:
116 cdot 2pi cdot [ 25 (37)^5/2 - 23 (37)^3/2 + 415 ]
Simplificando:
pi8 [ 25 (37)^5/2 - 23 (37)^3/2 + 415 ]

Resposta

Após os cálculos, a integral de superfície é aproximadamente:
integral duplaS F cdot eta , dS approx pi8 [ 25 times 37^2.5 - 23 times 37^1.5 + 415 ] approx valor numérico específico éí
Para obter o valor numérico final, seria necessário calcular os termos com 37^2.5 e 37^1.5, o que resulta em aproximadamente:
integral duplaS F cdot eta , dS approx pi8 times ( aproximadamente 2 times 224.08 - 2 times 22.91 + 0.266 ) approx pi8 times (448.16 - 45.82 + 0.266 ) approx pi8 times 402.606 approx 158.15
Então, a resposta final é aproximadamente 158.15.

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