Calcule
, onde
e
é a parte do parabolóide
limitado pelo cilindro
e orientado por
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
e a superfície
é parte do paraboloide
, limitada pelo cilindro
. Além disso, a orientação da normal
deve satisfazer
. Para resolver isso, vamos usar cálculos de integrais de superfície e entender como aplicar conceitos de vetores e geometria espacial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Ela é a parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
. Isso significa que
e
variam de tal forma que
, ou seja, o raio no plano
vai de 0 até 3.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor normal à superfície
. Para isso, vamos usar a fórmula para superfícies parametrizadas. A equação do paraboloide pode ser reescrita como
. A normal pode ser calculada usando as derivadas parciais de
:
Onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então, o vetor normal não normalizado fica:
Passo 5
Precisamos garantir que a orientação da normal satisfaz
, onde
. Calculando o produto escalar:
Isso é maior que zero, então precisamos inverter a direção da normal para que seja negativa:
Passo 6
Agora, a integral de superfície fica:
Mas como
, o produto escalar simplifica para:
Passo 7
A área diferencial
para o paraboloide é dada por:
Mas para simplificar, podemos usar coordenadas polares, onde
e
. Nesse caso,
.
Passo 8
Convertendo tudo para coordenadas polares, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então a integral fica:
Passo 9
Vamos calcular a integral interna em
. Seja
, então
, ou seja,
. Quando
,
, e quando
,
.
A integral interna se transforma em:
Simplificando os constantes:
Passo 10
Calculando a integral em
:
Avaliada de 1 a 37:
Calculando os valores:
Passo 11
Agora, integraremos em
:
Simplificando:
Resposta
Após os cálculos, a integral de superfície é aproximadamente:
Para obter o valor numérico final, seria necessário calcular os termos com
e
, o que resulta em aproximadamente:
Então, a resposta final é aproximadamente 158.15.