Considere a equação d yd t+p(t) y=0. Mostre que se y1(t) e y2(t) são soluções da equação, então y(t)=y1(t)+y2(t) e y(t)=c y1(t), com c uma constante qualquer, também são soluções da equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial de primeira ordem: dydt + p(t) y = 0. O que precisamos mostrar é que, se y1(t) e y2(t) são soluções dessa equação, então tanto a soma y(t) = y1(t) + y2(t) quanto y(t) = c cdot y1(t) (onde c é uma constante) também são soluções. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais lineares e propriedades das soluções dessas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a soma y(t) = y1(t) + y2(t) é uma solução da equação. Para isso, precisamos substituir y(t) na equação original e ver se ela satisfaz a igualdade.
Calculando a derivada de y(t):
dydt = ddt(y1(t) + y2(t)) = dy1dt + dy2dt
Agora, substituindo na equação diferencial:
dydt + p(t) y = (dy1dt + dy2dt) + p(t)(y1 + y2)

Passo 3

Sabemos que y1(t) e y2(t) são soluções da equação, ou seja:
dy1dt + p(t) y1 = 0
dy2dt + p(t) y2 = 0
Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
(-p(t) y1) + (-p(t) y2) + p(t)(y1 + y2) = -p(t) y1 - p(t) y2 + p(t) y1 + p(t) y2 = 0
Isso mostra que a soma y(t) = y1(t) + y2(t) satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos ver se y(t) = c cdot y1(t) também é uma solução. Calculando a derivada:
dydt = c cdot dy1dt
Substituindo na equação diferencial:
c cdot dy1dt + p(t) cdot c cdot y1 = c ( dy1dt + p(t) y1 )
Como y1(t) é solução, dy1dt + p(t) y1 = 0, então:
c cdot 0 = 0
Portanto, y(t) = c cdot y1(t) também satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Mostramos que tanto y(t) = y1(t) + y2(t) quanto y(t) = c cdot y1(t) são soluções da equação dydt + p(t) y = 0.

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