Considere a equação
. Mostre que se
e
são soluções da equação, então
e
, com
uma constante qualquer, também são soluções da equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial de primeira ordem:
. O que precisamos mostrar é que, se
e
são soluções dessa equação, então tanto a soma
quanto
(onde
é uma constante) também são soluções. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais lineares e propriedades das soluções dessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a soma
é uma solução da equação. Para isso, precisamos substituir
na equação original e ver se ela satisfaz a igualdade.
Calculando a derivada de
:
Agora, substituindo na equação diferencial:
Passo 3
Sabemos que
e
são soluções da equação, ou seja:
Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
Isso mostra que a soma
satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos ver se
também é uma solução. Calculando a derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Como
é solução,
, então:
Portanto,
também satisfaz a equação diferencial.
Resposta
Mostramos que tanto
quanto
são soluções da equação
.