Dado o PVI
c y^prime+5 x^4 y=x^4 y(0)=y0
Determine a solução do PVI.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) representado pela equação diferencial:
c y' + 5x^4 y = x^4 y(0) = y0
Aqui, o objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial y(0) = y0 . Para resolver isso, vamos utilizar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão:
y' + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
y' + 5x^4 y = x^4
Podemos identificar que P(x) = 5x^4 e Q(x) = x^4 . Este formato é importante porque nos permite aplicar diretamente o método do fator integrante.

Passo 3

O próximo passo é calcular o fator integrante, geralmente denotado por mu(x) . O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = 5x^4 :
mu(x) = e^integral 5x^4 dx = e^5 integral x^4 dx
Calculando a integral:
integral x^4 dx = x^55 + C
Desconsideramos a constante de integração para o fator integrante, então:
mu(x) = e^5 cdot x^55 = e^x^5

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x) = e^x^5 :
e^x^5 y' + e^x^5 cdot 5x^4 y = e^x^5 cdot x^4
Isso simplifica a equação, tornando o lado esquerdo uma derivada de um produto:
ddx ( e^x^5 y ) = e^x^5 x^4

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a x :
integral ddx ( e^x^5 y ) dx = integral e^x^5 x^4 dx
A integral do lado esquerdo é simples:
e^x^5 y = integral e^x^5 x^4 dx + C
Observando a integral do lado direito, fazemos uma substituição:
Seja u = x^5 , então du = 5x^4 dx , ou seja, x^4 dx = du5 .
Substituindo:
integral e^x^5 x^4 dx = 15 integral e^u du = 15 e^u + C = 15 e^x^5 + C
Portanto:
e^x^5 y = 15 e^x^5 + C

Passo 6

Agora, resolvemos para y :
y = 15 + C e^-x^5
Para determinar a constante C , usamos a condição inicial y(0) = y0 :
y(0) = 15 + C e^0 = 15 + C = y0
Resolvendo para C :
C = y0 - 15

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 15 + (y0 - 15) e^-x^5

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