Calcule , onde é a parte do plano que está no primeiro octante;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
com e sendo a parte do plano
no primeiro octante .
Para resolver, vamos parametrizar essa parte do plano como gráfico de , usar a fórmula de área e transformar em uma integral dupla sobre uma região no plano .
Passo 2
Parametrizamos por
onde varia em
Calculamos
então
e
l|rxtimes ryr| =raiz1^2+1^2+1^2 =raiz3
Logo
dS=raiz3,dx,dy
Passo 3
Na parametrização,
fl(r(x,y)r) =y,(1-x-y)
Portanto a integral de superfície vira
integral duplasigmay,z,dS =integral duplaRy,(1-x-y),raiz3;dx,dy
Passo 4
Calculamos a integral iterada em R:
integral duplaRy,(1-x-y),dx,dy =integralx=0^1!!integraly=0^1-xy,(1-x-y),dy,dx