Calcule integral duplasigma f(x, y, z) d S
f(x, y, z)=y z, onde sigma é a parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro octante;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
integral duplasigmaf(x,y,z),dS
com f(x,y,z)=y,z e sigma sendo a parte do plano
x+y+z=1
no primeiro octante (x,y,z>=0).
Para resolver, vamos parametrizar essa parte do plano como gráfico de z, usar a fórmula de área dS=|rxtimes ry|,dx,dy e transformar em uma integral dupla sobre uma região R no plano xy.

Passo 2

Parametrizamos sigma por
r(x,y)=l(x,;y,;1-x-yr),
onde (x,y) varia em
R=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1
Calculamos
rx=(1,0,-1), ry=(0,1,-1),
então
rxtimes ry =det i&j&k 1&0&-1 0&1&-1 =(1,1,1)
e
l|rxtimes ryr| =raiz1^2+1^2+1^2 =raiz3
Logo
dS=raiz3,dx,dy

Passo 3

Na parametrização,
fl(r(x,y)r) =y,(1-x-y)
Portanto a integral de superfície vira
integral duplasigmay,z,dS =integral duplaRy,(1-x-y),raiz3;dx,dy

Passo 4

Calculamos a integral iterada em R:
integral duplaRy,(1-x-y),dx,dy =integralx=0^1!!integraly=0^1-xy,(1-x-y),dy,dx
Primeiro, para fixo x,
integral0^1-xy,(1-x-y),dy =integral0^1-xl((1-x)y - y^2r)dy =(1-x)^36
Em seguida,
integral0^1(1-x)^36,dx =16cdot14 =124
Multiplicando pelo fator raiz3, obtemos
integral duplasigmay,z,dS =raiz3,124 =raiz324

Resposta

raiz324

Exercícios relacionados