Parametrize e esboce as superfícies indicadas a seguir:
A parte do parabolóide elíptico
que está em frente ao plano
.
A parte do parabolóide elíptico
Passo 1
O enunciado pede a parte da superfície
que fica “em frente” ao plano
, ou seja, onde
. O conteúdo é parametrização de superfícies e reconhecimento de regiões planas no plano
.
Passo 2
Isolamos
e impomos
:
A desigualdade
define uma região elíptica no plano
.
Passo 3
Para parametrizar essa região elíptica usamos coordenadas polares “esticadas”:
e escolhemos
Então
o que garante
.
Passo 4
Substituindo em
obtemos
Logo a parametrização da parte da superfície é
com
Passo 5
Esboço: trata-se de um parabolóide elíptico com vértice em
, cujo “bocal” (interseção com
) é a elipse
. Mantemos apenas a porção para a qual
, isto é, o “chapéu” do parabolóide voltado para o lado positivo de
.
Resposta
A parametrização é
correspondendo à parte do parabolóide
com
.
O esboço mostra o vértice em e a curva de contorno na reta
dada pela elipse
.
O esboço mostra o vértice em