Parametrize e esboce as superfícies indicadas a seguir:
A parte do parabolóide elíptico x+y^2+2 z^2=4 que está em frente ao plano x=0.

Passo 1

O enunciado pede a parte da superfície
x + y^2 + 2z^2 = 4
que fica “em frente” ao plano x=0, ou seja, onde x>=0. O conteúdo é parametrização de superfícies e reconhecimento de regiões planas no plano yz.

Passo 2

Isolamos x e impomos x>=0:
x ;=;4 - y^2 - 2z^2, 4 - y^2 - 2z^2 >= 0 ;Longrightarrow; y^2 + 2z^2 <= 4
A desigualdade y^2+2z^2<=4 define uma região elíptica no plano yz.

Passo 3

Para parametrizar essa região elíptica usamos coordenadas polares “esticadas”:
0 <= r <= 2, 0 <= theta < 2pi,
e escolhemos
y = rcostheta, z = rraiz2,sintheta
Então
y^2 + 2z^2 = r^2cos^2theta ;+;2! bigl(tfracr^22sin^2thetar) = r^2(cos^2theta+sin^2theta)=r^2<=4,
o que garante 0<= r<=2.

Passo 4

Substituindo em x=4-y^2-2z^2 obtemos
x = 4 - r^2
Logo a parametrização da parte da superfície é
r(r,theta) =l(x,y,zr) =l(4 - r^2,;rcostheta,;tfracrraiz2sinthetar),
com
0<= r<=2, 0<=theta<2pi

Passo 5

Esboço: trata-se de um parabolóide elíptico com vértice em (4,0,0), cujo “bocal” (interseção com x=0) é a elipse y^2+2z^2=4. Mantemos apenas a porção para a qual 0<= x<=4, isto é, o “chapéu” do parabolóide voltado para o lado positivo de x.

Resposta

A parametrização é
r(r,theta) =l(4 - r^2,;rcostheta,;tfracrraiz2sinthetar), 0<= r<=2,; 0<=theta<2pi,
correspondendo à parte do parabolóide x=4-y^2-2z^2 com x>=0.
O esboço mostra o vértice em (4,0,0) e a curva de contorno na reta x=0 dada pela elipse y^2+2z^2=4.

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