Encontre o raio e o intervalo de convergência da série a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série da forma:
Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de potências e o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo geral é:
Esse termo depende de e de , e nossa missão é descobrir para quais valores de essa série soma dá um resultado finito.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, se o limite:
existe e é igual a um número, então a série converge se L < 1 e diverge se L > 1. O ponto onde L = 1 é crítico e precisa ser analisado separadamente.
Passo 4
Vamos calcular esse limite :
Então,
Passo 5
Agora, vamos analisar esse limite. À medida que n cresce, o termo n+1 também cresce sem limite. Portanto, a menos que 2x - 1 = 0, o limite L vai para infinito, que é maior que 1. Isso significa que a série diverge para qualquer valor de x diferente de 12.
Quando 2x - 1 = 0, isto é, x = 12, a série se torna:
sumn >= 0 n! cdot 0^n = n! cdot 0 = 0
Exceto para n = 0 onde 0^0 é geralmente considerado como 1, mas isso não afeta a convergência geral. Portanto, a série converge apenas quando x = 12.
Resposta
O raio de convergência é 0, e o intervalo de convergência é apenas o ponto x = 12.