Use o Teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso
é orientada no sentido anti horário quando vista de cima.
, em que
é o triângulo com vértices
e
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema de Stokes, onde
e
é o triângulo com vértices
, orientado anti-horário visto do eixo
. Vamos precisar do rotacional de
e de uma parametrização da superfície triangular
cujo contorno é
.
Passo 2
Primeiro calculamos o rotacional de
, lembrando que
para
. Aqui
.
Aplicando as derivadas obtemos
Aplicando as derivadas obtemos
Logo
Passo 3
Para aplicar Stokes, parametrize a superfície
(o triângulo) por
, onde
.
Calculamos
Calculamos
Passo 4
O vetor normal orientado é
Passo 5
Como este vetor tem componente
, ele gera a orientação de
anti-horária vista de cima, conforme pedido.
Passo 6
Pela fórmula de Stokes:
Passo 7
No parâmetro
, temos
, logo
. Assim o produto escalar
(observe que
Passo 8
Integramos primeiro em
:
Passo 9
Expandindo:
Passo 10
Agora integramos em
:
Resposta
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