Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F d r. Em cada caso C é orientada no sentido anti horário quando vista de cima.
F(x, y, z)=(x+y, y+z, z+x^2), em que C é o triângulo com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1);

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointC Fcdot dr usando o Teorema de Stokes, onde F(x,y,z)=(x+y,,y+z,,z+x^2) e C é o triângulo com vértices (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), orientado anti-horário visto do eixo +z. Vamos precisar do rotacional de F e de uma parametrização da superfície triangular S cujo contorno é C.

Passo 2

Primeiro calculamos o rotacional de F, lembrando que nablatimes F=(Ry - Qz,,Pz - Rx,,Qx - Py) para F=(P,Q,R). Aqui P=x+y,;Q=y+z,;R=z+x^2.
Aplicando as derivadas obtemos
Ry=0, Qz=1Rightarrow (nablatimes F)1=0-1=-1,
Pz=0, Rx=2xRightarrow (nablatimes F)2=0-2x=-2x,
Qx=0, Py=1Rightarrow (nablatimes F)3=0-1=-1
Logo
nablatimes F=(-1,,-2x,,-1)

Passo 3

Para aplicar Stokes, parametrize a superfície S (o triângulo) por r(u,v)=(u,v,1-u-v), onde u>=0,,v>=0,,u+v<=1.
Calculamos
ru=(1,0,-1), rv=(0,1,-1)

Passo 4

O vetor normal orientado é
rutimes rv=(1,1,1)

Passo 5

Como este vetor tem componente +z, ele gera a orientação de C anti-horária vista de cima, conforme pedido.

Passo 6

Pela fórmula de Stokes:
ointC Fcdot dr=integral duplaS(nablatimes F)cdot(n,dS)=integral duplaD(nablatimes F)(r(u,v))cdot(rutimes rv),du,dv

Passo 7

No parâmetro (u,v), temos x=u, logo nablatimes F=(-1,-2u,-1). Assim o produto escalar
(nablatimes F)cdot(rutimes rv)=(-1,-2u,-1)cdot(1,1,1)=-1-2u-1=-2-2u
(observe que -1-1=-2). A integral fica
integralu=0^1integralv=0^1-u(-2-2u),dv,du

Passo 8

Integramos primeiro em v:
integralv=0^1-u(-2-2u),dv=(-2-2u)(1-u)

Passo 9

Expandindo:
(-2-2u)(1-u)=-2+2u-2u+2u^2=-2u^2-2

Passo 10

Agora integramos em u:
integral0^1(-2u^2-2),du=[-tfrac2u^33-2u]0^1=-tfrac23-2=-tfrac83

Resposta

-4/3

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