Determine:
integral e^x raiz1+e^x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^x raiz1+e^x , dx. Essa questão está no conteúdo de cálculo integral, mais especificamente, vamos usar o método de substituição para facilitar a integração. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos chamar:
u = 1 + e^x
Assim, precisamos encontrar o valor de du em termos de dx . Derivando ambos os lados em relação a x :
dudx = e^x
du = e^x , dx
Isso é ótimo porque temos e^x , dx na nossa integral original.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original usando nossa substituição:
integral e^x raiz1+e^x , dx = integral raizu , du
Isso simplifica a integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 4

Agora, vamos resolver integral raizu , du. Sabemos que raizu é igual a u^1/2, então:
integral u^1/2 , du = u^3/232 + C = 23 u^3/2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, vamos voltar para a variável original x substituindo u de volta:
23 u^3/2 + C = 23 (1 + e^x)^3/2 + C

Resposta

23 (1 + e^x)^32 + C

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