Seja
a parte da esfera
que se encontra acima do plano
com campo normal unitário
tal que
. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo
através de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o fluxo de um campo vetorial
através de uma parte da esfera
usando o Teorema da Divergência. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente no tópico de fluxo e divergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, como aplicar o teorema da divergência e trabalhar com integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Matematicamente:
No nosso caso, a superfície
não está fechada porque é apenas a parte da esfera acima do plano
. Então, vamos fechar a superfície adicionando o disco
no plano
. Assim, teremos uma superfície fechada composta por
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência:
Queremos encontrar o fluxo através de
, então vamos isolar isso:
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. Dado o campo:
A divergência é:
Calculando cada derivada:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume
, que é a metade superior da esfera unitária. Em coordenadas esféricas, lembramos que:
E o elemento de volume é:
Então, a integral fica:
Os limites de integração são:
-
de a -
de a -
de a (já que estamos apenas na metade superior)
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Integrando em
:
Integrando em
:
Integrando em
:
Multiplicando tudo:
Passo 7
Agora, vamos calcular o fluxo através do disco
. No disco
,
e a normal é para baixo, ou seja,
.
O campo
quando
é:
Então, o produto escalar
é:
O fluxo através de
é:
A área de
(um disco de raio
) é
, então:
Passo 8
Finalmente, voltando ao Teorema da Divergência:
Resposta
O fluxo do campo
através de
é
.