Seja S a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 que se encontra acima do plano z=0 com campo normal unitário n tal que lang<=n, krang<= >= 0. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo F(x, y, z)=(x y^2+e^y) i+(y z^2+sen^2 x) j+(z x^2+5) k através de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o fluxo de um campo vetorial F através de uma parte da esfera S usando o Teorema da Divergência. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente no tópico de fluxo e divergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, como aplicar o teorema da divergência e trabalhar com integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume V limitado por S. Matematicamente:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
No nosso caso, a superfície S não está fechada porque é apenas a parte da esfera acima do plano z=0. Então, vamos fechar a superfície adicionando o disco D no plano z=0. Assim, teremos uma superfície fechada composta por S e D.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência:
integral duplaS cup D F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Queremos encontrar o fluxo através de S, então vamos isolar isso:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV - integral duplaD F cdot n , dS

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. Dado o campo:
F(x, y, z) = (x y^2 + e^y) i + (y z^2 + sin^2 x) j + (z x^2 + 5) k
A divergência é:
nabla cdot F = partialpartial x(x y^2 + e^y) + partialpartial y(y z^2 + sin^2 x) + partialpartial z(z x^2 + 5)
Calculando cada derivada:
partialpartial x(x y^2 + e^y) = y^2
partialpartial y(y z^2 + sin^2 x) = z^2
partialpartial z(z x^2 + 5) = x^2
Portanto:
nabla cdot F = x^2 + y^2 + z^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume V, que é a metade superior da esfera unitária. Em coordenadas esféricas, lembramos que:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
E o elemento de volume é:
dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Então, a integral fica:
integral triplaV r^2 cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta = integral triplaV r^4 sin phi , dr , dphi , dtheta
Os limites de integração são:
  • r de 0 a 1
  • theta de 0 a 2pi
  • phi de 0 a pi2 (já que estamos apenas na metade superior)

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral0^2pi integral0^pi2 integral0^1 r^4 sin phi , dr , dphi , dtheta
Integrando em r:
integral0^1 r^4 dr = [r^55]0^1 = 15
Integrando em phi:
integral0^pi2 sin phi , dphi = [-cos phi]0^pi2 = 1
Integrando em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
15 times 1 times 2pi = 2pi5

Passo 7

Agora, vamos calcular o fluxo através do disco D. No disco D, z=0 e a normal é para baixo, ou seja, n = -k.
O campo F quando z=0 é:
F(x, y, 0) = (x y^2 + e^y) i + (sin^2 x) j + 5 k
Então, o produto escalar F cdot n é:
F cdot n = (x y^2 + e^y)(0) + (sin^2 x)(0) + 5(-1) = -5
O fluxo através de D é:
integral duplaD F cdot n , dS = integral duplaD (-5) , dA = -5 times Área de D Á
A área de D (um disco de raio 1) é pi, então:
-5 times pi = -5pi

Passo 8

Finalmente, voltando ao Teorema da Divergência:
integral duplaS F cdot n , dS = 2pi5 - (-5pi) = 2pi5 + 5pi = 2pi + 25pi5 = 27pi5

Resposta

O fluxo do campo F através de S é dfrac27,pi5.

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