Esboce os seguintes campos vetoriais em R^3 :
(b) F(x, y, z)=(0, z,-y).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo vetorial
F(x,y,z) = (0,;z,;-y)
em R^3. O conteúdo é geometria de campos vetoriais em 3D, em particular caracterizar direções e magnitudes das setas em cada ponto e reconhecer linhas de campo.

Passo 2

Observe que o componente em x é zero, ou seja,
Fx(x,y,z)=0,
portanto todo vetor F(x,y,z) está contido no plano paralelo ao plano yz que passa por x. Em cada plano x=constante, o campo reduz-se a
Fyz(y,z) = (z,,-y)

Passo 3

No plano yz, o vetor (z,-y) é sempre perpendicular ao vetor radial (y,z) proveniente da origem do plano. De fato, o produto interno
(y,z)cdot(z,-y) = yz - zy = 0
mostra que Fyz é tangente a círculos centrados na origem do plano yz.

Passo 4

A magnitude de é
ou seja, cresce linearmente com a distância ao eixo . A orientação em cada plano é dada por
que corresponde a uma rotação de (sentido horário) em relação ao vetor radial.

Passo 5

Conclusão: em cada plano x= constante as linhas de campo são círculos concêntricos ao eixo x, com vetores tangenciais apontando no sentido horário visto a partir do eixo positivo x. A distância ao eixo determina o comprimento da flecha.

Resposta

O campo F(x,y,z)=(0,z,-y) forma um “vórtice” em torno do eixo x: em cada plano perpendicular a x, as setas são tangentes a círculos centrados no eixo, de sentido horário (vistas do lado positivo de x), e de magnitude igual à distância ao eixo.

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