(Vestibular UFMG, 1995) A única afirmativa verdadeira é (justifique)
a) Se x(x-2)=1, então x=1 ou x-2=1.
b) raiz17^2+25^2=17+25
c) 2(x-1)^2+(x+1)(x-1)=2(x-1)+(x+1), para todo x neq 1
d) [(13)^-2]^2-[(-2)^3]^2=17
e) x^32-x^12=x^12(x^3-1), para todo número real x >= 0.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações envolvendo manipulação de equações quadráticas, radicais e potências, e pede para identificar a única verdadeira. Vamos testar cada alternativa usando álgebra elementar e propriedades de potências.

Passo 2

Analisando a) “Se x(x-2)=1, então x=1 ou x-2=1”.
Resolver x(x-2)=1 dá a equação quadrática
x^2 - 2x - 1 = 0,
cuja solução é
x = 2 pm raiz4 + 42 = 1 pm raiz2,
que não coincide com x=1 nem com x-2=1. Portanto a) é falsa.

Passo 3

Analisando b) “ raiz17^2+25^2=17+25”.
O lado esquerdo é
raiz17^2 + 25^2 = raiz289 + 625 = raiz914approx30,2,
enquanto o lado direito é 42. Logo b) é falsa.

Passo 4

Analisando c) 2(x-1)^2+(x+1)(x-1)=2(x-1)+(x+1), para todo xneq1.
No numerador temos
2(x-1)^2 + (x+1) = 2x^2 -4x +2 + x +1 = 2x^2 -3x +3
Fazendo a divisão por x-1 via divisão polinomial obtemos
2x^2 -3x +3x-1 = 2x -1 + 2x-1,
enquanto o suposto lado direito é
2(x-1) + (x+1) = 3x -1
Como 2x-1 não some para zero em geral, c) é falsa.

Passo 5

Analisando d) l[(tfrac13)^-2r]^2-l[(-2)^3r]^2=17.
Usando (a^b)^c = a^bc e expoente negativo,
(tfrac13)^-2 = 3^2 =9, 9^2 =81,
e
(-2)^3 = -8, (-8)^2 = 64
Portanto
81 - 64 = 17,
de modo que d) é verdadeira.

Passo 6

Analisando e) x^tfrac32-x^tfrac12=x^tfrac12(x^3-1), para x>=0.
O lado esquerdo é x^3/2 - x^1/2, mas o lado direito expande para
x^1/2,x^3 - x^1/2 = x^7/2 - x^1/2
Isto só coincide com x^3/2-x^1/2 em casos isolados, não em todo x>=0. Então e) é falsa.

Resposta

d) l[(tfrac13)^-2r]^2-l[(-2)^3r]^2=17 é a única afirmativa verdadeira.

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