(Vestibular UFMG, 1995) A única afirmativa verdadeira é (justifique)
a) Se
, então
ou
.
b)
c)
, para todo
d)
e)
, para todo número real
.
a) Se
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações envolvendo manipulação de equações quadráticas, radicais e potências, e pede para identificar a única verdadeira. Vamos testar cada alternativa usando álgebra elementar e propriedades de potências.
Passo 2
Analisando a) “Se
, então
ou
”.
Resolver dá a equação quadrática
Resolver
cuja solução é
que não coincide com
nem com
. Portanto a) é falsa.
Passo 3
Analisando b) “
”.
O lado esquerdo é
O lado esquerdo é
enquanto o lado direito é
. Logo b) é falsa.
Passo 4
Analisando c)
, para todo
.
No numerador temos
No numerador temos
Fazendo a divisão por
via divisão polinomial obtemos
enquanto o suposto lado direito é
Como
não some para zero em geral, c) é falsa.
Passo 5
Analisando d)
.
Usando e expoente negativo,
Usando
e
Portanto
de modo que d) é verdadeira.
Passo 6
Analisando e)
, para
.
O lado esquerdo é , mas o lado direito expande para
O lado esquerdo é
Isto só coincide com
em casos isolados, não em todo
. Então e) é falsa.
Resposta
d)
é a única afirmativa verdadeira.