Calcule
integral triplaT(x^2+y^2) d V, onde T é a região que está acima do plano x O y e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla de x^2+y^2 sobre a região T que é o hemisfério acima do plano xOy (ou seja z>=0) e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=1. O conteúdo principal é integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 2

Para aproveitar a simetria esférica, usamos coordenadas esféricas: x=rsinvarphicostheta, y=rsinvarphisintheta, z=rcosvarphi. Nesse sistema temos x^2+y^2=r^2sin^2varphi e o elemento de volume dV=r^2sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta. Assim a integral vira
integraltheta=0^2piintegralvarphi=0^pi/2integralr=0^1 r^2sin^2varphi;r^2sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta =integral0^2piintegral0^pi/2integral0^1 r^4sin^3varphi,dr,dvarphi,dtheta

Passo 3

Agora calculamos cada integral separadamente. Primeiro a parte radial:
integral0^1 r^4,dr=15

Passo 4

Em seguida a integral em varphi. Usando u=cosvarphi e du=-sinvarphi,dvarphi, temos
integral0^pi/2sin^3varphi,dvarphi=integral0^pi/2(1-cos^2varphi)sinvarphi,dvarphi=integralu=1^0(1-u^2)(-du)=integral0^1(1-u^2)du=1-tfrac13=tfrac23

Passo 5

Por fim a integral em theta é trivial:
integral0^2pidtheta=2pi

Passo 6

Multiplicando os resultados obtidos temos
2pitimes23times15=4pi15

Resposta

4pi15

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