Calcule
, onde
é a região que está acima do plano
e abaixo da esfera
.
Passo 1
O enunciado pede a integral tripla de
sobre a região
que é o hemisfério acima do plano
(ou seja
) e abaixo da esfera
. O conteúdo principal é integral tripla em coordenadas esféricas.
Passo 2
Para aproveitar a simetria esférica, usamos coordenadas esféricas:
,
,
. Nesse sistema temos
e o elemento de volume
. Assim a integral vira
Passo 3
Agora calculamos cada integral separadamente. Primeiro a parte radial:
Passo 4
Em seguida a integral em
. Usando
e
, temos
Passo 5
Por fim a integral em
é trivial:
Passo 6
Multiplicando os resultados obtidos temos