Resolva as equações diferenciais:
x d y-y d x=\sqrt{x{2}+y{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,dy - y,dx = raizx^2 + y^2,dx
Esse tipo de equação sugere usar a substituição homogênea ( y/x = u), pois o termo raizx^2+y^2 fica proporcional a x.

Passo 2

Primeiro, dividimos tudo por dx e isolamos y' = dy/dx:
xdydx - y = raizx^2 + y^2
ou seja
x y' = y + raizx^2 + y^2,

Passo 3

Fazemos a troca y = u x. Assim y' = u + x u' e raizx^2 + y^2 = xraiz1+u^2. Substituindo na equação:
xl(u + x u'r) = u x + xraiz1+u^2
Simplificando por x e cancelando u:
x u' = raiz1+u^2,

Passo 4

Agora separamos variáveis:
duraiz1+u^2 = dxx
E integramos ambos os lados. Sabemos que integral du/raiz1+u^2 = arsinh(u) e integral dx/x = ln|x| + C. Então:
arsinh(u) = ln|x| + C

Passo 5

Voltamos à variável original y lembrando que u = y/x. Portanto a solução geral fica
arsinhl(tfracyxr) = ln|x| + C

Resposta

arsinhl(tfracyxr) = ln|x| + C

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