Resolva as equações diferenciais:
x d y-y d x=\sqrt{x{2}+y{2}} d x
x d y-y d x=\sqrt{x{2}+y{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Esse tipo de equação sugere usar a substituição homogênea (
), pois o termo
fica proporcional a
.
Passo 2
Primeiro, dividimos tudo por
e isolamos
:
ou seja
Passo 3
Fazemos a troca
. Assim
e
. Substituindo na equação:
Simplificando por
e cancelando
:
Passo 4
Agora separamos variáveis:
E integramos ambos os lados. Sabemos que
e
. Então:
Passo 5
Voltamos à variável original
lembrando que
. Portanto a solução geral fica