Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma. (Dica: use frações parciais e simplifique as somas parciais para revelar cancelamentos.)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se convergir, encontrar sua soma.
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais e soma telescópica, já que ao separar cada termo em duas parcelas, veremos cancelamentos em cadeia.
Passo 2
Vamos escrever cada termo em frações parciais. Procuramos constantes e tais que
Multiplicando por obtemos
Comparando coeficientes segue o sistema
logo
A=tfrac12, B=-tfrac12
Portanto
1n(n+2) = 12l(1n-1n+2r)
Passo 3
Escrevemos a soma parcial SN=sumn=1^N1n(n+2) usando a expressão acima:
SN = 12sumn=1^Nl(1n-1n+2r)
Separamos as duas somas:
SN = 12l(sumn=1^N1n ;-;sumn=1^N1n+2r)
Passo 4
Reindexamos a segunda soma:
sumn=1^N1n+2 = 13 + 14 + cdots + 1N+2
Já a primeira soma é
sumn=1^N1n = 11 + 12 + 13 + cdots + 1N
Ao subtrair, todos os termos de 1/3 até 1/N cancelam, sobrando
SN = 12l(11 + 12 - 1N+1 - 1N+2r)
Ou seja
SN = 12l(1 + tfrac12r) ;-;12l(1N+1+1N+2r) = 34 ;-;12l(1N+1+1N+2r)
Passo 5
Para verificar a convergência, basta ver o comportamento de SN quando Ntoinfty. Note que
1N+1+1N+2 ;longrightarrow;0
Logo
limNtoinftySN = 34
Isso mostra que a série converge e sua soma é tfrac34.