Resolva as equações diferenciais:
y d x+(2 \sqrt{x y}-x) d y=0
y d x+(2 \sqrt{x y}-x) d y=0
Passo 1
A equação diferencial dada é
. O tema aqui é equações exatas e fator integrante, pois a equação não é exata à primeira vista. Vamos usar a propriedade de homogeneidade de grau 1 das funções envolvidas para encontrar um fator integrante simples.
Passo 2
Identificamos
e
. Calculando as derivadas parciais:
e
, ou seja, não são iguais, então não é exata. Como
e
são homogêneas de grau 1, usamos o resultado de que um fator integrante é
Passo 3
Vamos calcular
Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, definindo
Verificamos que agora
, então a equação é exata.
Passo 5
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos em
(tratando
como constante):
Para determinar
, usamos
e igualamos a
. Assim
o que dá
e, portanto,
.
Passo 6
A condição implícita de solução é
onde
é constante arbitrária. Essa é a solução geral.