Resolva as equações diferenciais:
y d x+(2 \sqrt{x y}-x) d y=0

Passo 1

A equação diferencial dada é y,dx + (2raizxy - x),dy = 0. O tema aqui é equações exatas e fator integrante, pois a equação não é exata à primeira vista. Vamos usar a propriedade de homogeneidade de grau 1 das funções envolvidas para encontrar um fator integrante simples.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=y e N(x,y)=2raizxy-x. Calculando as derivadas parciais: partial M/partial y=1 e partial N/partial x=raizy/x-1, ou seja, não são iguais, então não é exata. Como M e N são homogêneas de grau 1, usamos o resultado de que um fator integrante é
mu(x,y)=1xM+yN

Passo 3

Vamos calcular
xM+yN = xcdot y + yl(2raizxy-xr) = 2raizx y^3
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mu(x,y)=12raizx y^3

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu, definindo
M1=y2raizx y^3=12raizxy,
N1=2raizxy-x2raizx y^3=1y-raizx2y^3/2
Verificamos que agora partial M1/partial y=partial N1/partial x=-tfrac14raizxy^3/2, então a equação é exata.

Passo 5

Como é exata, existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M1=12raizxy
Integramos em x (tratando y como constante):
phi(x,y)=integral 12raizxy,dx = raizxraizy + h(y)
Para determinar h(y), usamos
partial phipartial y = -raizx2y^3/2 + h'(y)
e igualamos a N1. Assim
-raizx2y^3/2 + h'(y) = 1y - raizx2y^3/2,
o que dá h'(y)=1/y e, portanto, h(y)=ln|y|.

Passo 6

A condição implícita de solução é
phi(x,y)=raizxraizy + ln|y| = C,
onde C é constante arbitrária. Essa é a solução geral.

Resposta

raizxraizy + ln|y| = C

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