Calcule integral duplaD 1(x^2+y^2)^alpha / 2 d A onde, alpha>0 e D é a região limitada pelos círculos com centro na origem e raios r, R, onde 0<r<R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral duplaD1l(x^2+y^2r)^alpha/2,dA
onde alpha>0 e D é o anel com centro na origem e raios internos r e externo R ( 0<r<R).
O conteúdo aqui é usar coordenadas polares, lembrar que x=rhocostheta, y=rhosintheta e o jacobiano vale rho.

Passo 2

Fazendo a mudança para coordenadas polares, temos
x^2+y^2=rho^2, dA=rho,drho,dtheta,
e D vira rho de r a R e theta de 0 a 2pi. Logo
integral duplaD1(x^2+y^2)^alpha/2,dA =integral0^2pi!integralr^R1rho^alpha;rho,drho,dtheta =integral0^2pi!integralr^Rrho^1-alpha,drho,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em rho:
  • Se alphaneq2, então
integralr^Rrho^1-alpha,drho =[rho^2-alpha2-alpha]r^R =R^2-alpha-r^2-alpha2-alpha
  • Se alpha=2, então
integralr^Rrho^-1,drho =l[lnrhor]r^R =lnRr

Passo 4

Agora integramos em theta, que só traz um fator 2pi. Concluímos:
  • Para alphaneq2,
integral duplaD1(x^2+y^2)^alpha/2,dA =2pi,R^2-alpha-r^2-alpha2-alpha
  • Para alpha=2,
integral duplaD1x^2+y^2,dA =2pi,lnRr

Resposta

Para alphaneq2:
boxed 2pi,R^2-alpha-r^2-alpha2-alpha
Para alpha=2:
boxed 2pi,lnRr

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