Calcule
onde,
e
é a região limitada pelos círculos com centro na origem e raios
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
e
é o anel com centro na origem e raios internos
e externo
(
).
O conteúdo aqui é usar coordenadas polares, lembrar que ,
e o jacobiano vale
.
O conteúdo aqui é usar coordenadas polares, lembrar que
Passo 2
Fazendo a mudança para coordenadas polares, temos
e
vira
de
a
e
de
a
. Logo
Passo 3
Primeiro integramos em
:
- Se
, então
- Se
, então
Passo 4
Agora integramos em
, que só traz um fator
. Concluímos:
- Para
,
- Para
,
Resposta
Para
:
Para
: