Determine o vetor tangente unitário T(t) e normal unitário N(t) no ponto com valor de parâmetro dado t:
r(t)=lang<= t e^-t, 2 arctg t, 2 e^trang<=, t=0

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=llang<= t e^-t,,2arctan t,,2e^trrang<=
e pede o vetor tangente unitário T(t) e o vetor normal unitário N(t) em t=0.
Conteúdo: cálculo de derivadas de vetores, norma de vetor, definição
T(t)=dfracr'(t)|r'(t)| e
N(t)=r''(t)-l(r''(t)cdotT(t)r)T(t)l|r''(t)-(r''(t)cdotT(t))T(t)r|.

Passo 2

Calcular r'(t). Usando derivada do produto e de arctan,
r'(t) =llang<= (1-t)e^-t,,tfrac21+t^2,,2e^trrang<=

Passo 3

Avaliar em t=0:
r'(0)=lang<=1,2,2rang<=, |r'(0)|=raiz1^2+2^2+2^2=raiz9=3
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T(0)=r'(0)3 =llang<= tfrac13,tfrac23,tfrac23rrang<=

Passo 4

Calcular r''(t). Derivando cada componente de r'(t),
r''(t) =llang<= (t-2)e^-t,,-tfrac4t(1+t^2)^2,,2e^trrang<=

Passo 5

Avaliar em t=0:
r''(0)=lang<= -2,,0,,2rang<=

Passo 6

Projectar r''(0) em T(0) e subtrair para obter a componente normal:
r''(0)cdotT(0) =-2cdottfrac13+0+2cdottfrac23=tfrac23
B =r''(0)-tfrac23,T(0) =llang<= -2,0,2rrang<= -tfrac23llang<=tfrac13,tfrac23,tfrac23rrang<= =llang<= -tfrac209,-tfrac49,tfrac149rrang<=
Norma de B:
|B| =19raiz(-20)^2+(-4)^2+14^2 =2raiz1539
Portanto
N(0) =B|B| =lang<= -20/9,,-4/9,,14/9rang<=2raiz153/9 =llang<= -tfrac10raiz153,,-tfrac2raiz153,,tfrac7raiz153rrang<=

Resposta

T(0)=llang<= tfrac13,,tfrac23,,tfrac23rrang<=, N(0)=llang<= -tfrac10raiz153,,-tfrac2raiz153,,tfrac7raiz153rrang<=

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