Calcule
, onde
e
é a região limitada pelas esferas com centro na origem e raios
com
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral
onde
e
é a casca esférica
.
O conteúdo principal é a mudança para coordenadas esféricas e a integração radial.
O conteúdo principal é a mudança para coordenadas esféricas e a integração radial.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com
,
,
, e o elemento de volume
Além disso,
logo o integrando fica
Passo 3
Substituindo no integral sobre
temos
O integral angular separa-se como
Portanto sobra o radial
Passo 4
Se
, a integral radial é
Multiplicando por
4pi dá
Passo 5
No caso especial
alpha=3 , o expoente fica
rho^-1 e
levando a
Resposta
Para
alphaneq3 :
Para
alpha=3 :