Calcule integralegral triplaD 1(x^2+y^2+z^2)^alpha / 2 d V, onde alpha>0 e D é a região limitada pelas esferas com centro na origem e raios r, R com 0<r<R.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral
integral triplaD 1l(x^2+y^2+z^2r)^alpha/2,dV
onde alpha>0 e D é a casca esférica r<= raizx^2+y^2+z^2<= R.
O conteúdo principal é a mudança para coordenadas esféricas e a integração radial.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com rho>=0, phiin[0,pi], thetain[0,2pi], e o elemento de volume
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Além disso,
x^2+y^2+z^2=rho^2,
logo o integrando fica
1(rho^2)^alpha/2=rho^-alpha

Passo 3

Substituindo no integral sobre D temos
integral triplaD1l(x^2+y^2+z^2r)^alpha/2,dV =integraltheta=0^2pi!!integralphi=0^pi!!integralrho=r^R rho^-alpha,rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
O integral angular separa-se como
integral0^2pidtheta;integral0^pisinphi,dphi =(2pi)cdot(2)=4pi
Portanto sobra o radial
4piintegralr^Rrho^2-alpha,drho

Passo 4

Se alphaneq3, a integral radial é
integralr^Rrho^2-alpha,drho =rho^,3-alpha3-alphag|r^R =R^,3-alpha-r^,3-alpha3-alpha
Multiplicando por 4pi
4pi3-alpha,l(R^,3-alpha-r^,3-alphar)

Passo 5

No caso especial alpha=3, o expoente fica rho^-1 e
integralr^Rrho^-1,drho =lnrho|r^R =ln!l(R/rr),
levando a
4pi,ln!l(R/rr)

Resposta

Para alphaneq3:
integral triplaD1(x^2+y^2+z^2)^alpha/2,dV =4pi3-alpha,l(R^3-alpha-r^3-alphar)
Para alpha=3:
integral triplaD1(x^2+y^2+z^2)^3/2,dV =4pi,ln!l(R/rr)

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