Descreva as superfícies que são dadas em coordenadas cilíndricas
theta=pi / 4

Passo 1

O enunciado pede para descrever a superfície dada em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) pela condição
theta = pi4
O objetivo é passar para coordenadas cartesianas e identificar geometricamente essa superfície.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas vale
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
Se theta = pi/4, então
x = rcosl(tfracpi4r)=rraiz22, y = rsinl(tfracpi4r)=rraiz22,
o que implica
yx=1Longrightarrow y = x
Como em coordenadas cilíndricas usamos r>=0, o ponto gerado satisfaz também x>=0 e y>=0. O valor de z é livre em R.

Resposta

A superfície é o semi-plano vertical dado por
y = x, x>=0, zin R,
ou seja, o plano que faz 45^circ com o eixo x, passando pela origem e estendendo-se em todas as direções de z.

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