(a) Mostre que a TFS e a TFC de
são dadas (respectivamente) por
Sugestão: Cada uma das transformadas pode ser relacionada a outra via integração por partes.
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre as transformadas de seno e cosseno de
definidas por
O conteúdo é integração por partes aplicada a integrais impróprias para relacionar essas duas integrais e então solucionar o sistema resultante.
Passo 2
Definimos as integrais básicas
Em
aplicamos integração por partes com
e
. Então
e
, e
Logo
Passo 3
Em
aplicamos integração por partes com
e
. Então
e
, e
Portanto
Passo 4
Substituímos
em
:
E então
Passo 5
Basta multiplicar cada integral pelo fator
. Assim