(a) Mostre que a TFS e a TFC de e^-a t são dadas (respectivamente) por
FS(omega)=raiz2pi omegaomega^2+a^2, Fc(omega)=raiz2pi aomega^2+a^2
Sugestão: Cada uma das transformadas pode ser relacionada a outra via integração por partes.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre as transformadas de seno e cosseno de exp(-a t) definidas por
Fs(omega)=raiztfrac2piintegral0^inftye^-a tsin(omega t),dt, Fc(omega)=raiztfrac2piintegral0^inftye^-a tcos(omega t),dt
O conteúdo é integração por partes aplicada a integrais impróprias para relacionar essas duas integrais e então solucionar o sistema resultante.

Passo 2

Definimos as integrais básicas
Ic=integral0^inftye^-a tcos(omega t),dt, Is=integral0^inftye^-a tsin(omega t),dt
Em Ic aplicamos integração por partes com u=e^-a t e dv=cos(omega t),dt. Então du=-a e^-a t,dt e v=tfracsin(omega t)omega, e
Ic =l[e^-a t,sin(omega t)omegar]0^infty -integral0^inftysin(omega t)omega,(-a e^-a t),dt =0 + aomega,Is
Logo
Ic=aomega,Is

Passo 3

Em Is aplicamos integração por partes com u=e^-a t e dv=sin(omega t),dt. Então du=-a e^-a t,dt e v=-tfraccos(omega t)omega, e
Is =l[e^-a t,l(-cos(omega t)omegar)r]0^infty -integral0^inftyl(-cos(omega t)omegar),(-a e^-a t),dt =1omega-aomega,Ic
Portanto
Is=1omega-aomega,Ic

Passo 4

Substituímos Ic=(a/omega)Is em Is=(1/omega)-(a/omega)Ic:
Is=1omega-aomega,aomega,Is Longrightarrow Isl(1+a^2omega^2r)=1omega Longrightarrow Is=omegaomega^2+a^2
E então
Ic=aomega,Is=aomega,omegaomega^2+a^2 =aomega^2+a^2

Passo 5

Basta multiplicar cada integral pelo fator raiztfrac2pi. Assim
Fs(omega)=raiztfrac2pi,Is =raiztfrac2pi;omegaomega^2+a^2, Fc(omega)=raiztfrac2pi,Ic =raiztfrac2pi;aomega^2+a^2

Resposta

Fs(omega)=raiz2pi,omegaomega^2+a^2, Fc(omega)=raiz2pi,aomega^2+a^2

Exercícios relacionados