Considere o problema de valor inicial (P. V. I.)
ll d x1d t=2 x1-5 x2 & x1(0)=1 d x2d t=alpha x1-2 x2 & x2(0)=0
Resolva o P.V. I. para alpha=0. Esboce o gráfico de x2(t) em função de t.

Passo 1

O enunciado nos dá o P.V.I.
d x1d t=2 x1-5 x2, & x1(0)=1, d x2d t=alpha,x1-2 x2, & x2(0)=0,
e pede a solução para alpha=0. Aqui vemos que, ao tomar alpha=0, a equação para x2 fica desacoplada e pode ser resolvida isoladamente.

Passo 2

Para alpha=0 a segunda equação é
d x2d t = -2,x2,
que é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem. A solução geral é
x2(t) = C,e^-2t
Impondo a condição inicial x2(0)=0 C=0. Portanto
x2(t)=0 para todo t>=0

Passo 3

Com x2(t)=0, a equação para x1 vira
d x1d t = 2,x1, x1(0)=1
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem cuja solução é
x1(t) = e^2t

Passo 4

Como x2(t)=0 identicamente, o esboço do gráfico de x2 em função de t é simplesmente uma reta horizontal sobre o eixo zero.

Resposta

x1(t) = e^2t, x2(t) = 0
O gráfico de x2(t) é a linha constante x2=0.

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