Calcule integralegral duplaD e^y-xy+x d A, onde D é a região limitada pela reta x+y=2 e pelos eixos coordenados. (Dica: Aplique mundança de variáveis usando a transformação u=y-x e v=y+x)

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaD e^y-xy+x , dA, onde D é a região limitada pela reta x + y = 2 e pelos eixos coordenados. Para isso, vamos usar mudança de variáveis com a transformação u = y - x e v = y + x. Vamos precisar entender como transformar a região de integração e a função integranda usando essas novas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites da região D nos eixos x e y. A reta x + y = 2 intercepta os eixos em x = 2 e y = 2. Então, D é o triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2).

Passo 3

Agora, aplicamos a transformação u = y - x e v = y + x. Precisamos expressar x e y em termos de u e v:
x = v - u2, y = v + u2

Passo 4

Vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano J é:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = -12 & 12 12 & 12 = (-12)(12) - (12)(12) = -14 - 14 = -12
O valor absoluto do jacobiano é | J | = 12.

Passo 5

Agora, vamos redefinir os limites de integração em termos de u e v. A reta x + y = 2 se torna v = 2. Os eixos coordenados x = 0 e y = 0 se transformam em:
  • x = 0 Rightarrow v = u
  • y = 0 Rightarrow u = -v
Então, os limites para v são de 0 a 2, e para u, de -v a v.

Passo 6

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaD e^y-xy+x , dA = integral0^2 integral-v^v e^uv cdot 12 , du , dv

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a u:
integral-v^v e^uv , du = v [ e^uv ]-v^v = v ( e^1 - e^-1 ) = v (e - 1e)

Passo 8

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2 12 cdot v ( e - 1e ) , dv
Fatoramos as constantes:
12 ( e - 1e ) integral0^2 v , dv

Passo 9

Calculamos a integral em relação a v:
integral0^2 v , dv = [ v^22 ]0^2 = 42 - 0 = 2

Passo 10

Multiplicando tudo, temos:
12 ( e - 1e ) cdot 2 = e - 1e

Resposta

O valor da integral é e - 1e.

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