Calcule , onde é a região limitada pela reta e pelos eixos coordenados. (Dica: Aplique mundança de variáveis usando a transformação e
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla , onde é a região limitada pela reta e pelos eixos coordenados. Para isso, vamos usar mudança de variáveis com a transformação e . Vamos precisar entender como transformar a região de integração e a função integranda usando essas novas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites da região nos eixos e . A reta intercepta os eixos em e . Então, é o triângulo com vértices em , e .
Passo 3
Agora, aplicamos a transformação e . Precisamos expressar e em termos de e :
Passo 4
Vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é:
O valor absoluto do jacobiano é | J | = 12.
Passo 5
Agora, vamos redefinir os limites de integração em termos de u e v. A reta x + y = 2 se torna v = 2. Os eixos coordenados x = 0 e y = 0 se transformam em:
x = 0 Rightarrow v = u
y = 0 Rightarrow u = -v
Então, os limites para v são de 0 a 2, e para u, de -v a v.
Passo 6
Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaD e^y-xy+x , dA = integral0^2 integral-v^v e^uv cdot 12 , du , dv
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a u:
integral-v^v e^uv , du = v [ e^uv ]-v^v = v ( e^1 - e^-1 ) = v (e - 1e)
Passo 8
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: