Seja
um campo vetorial.
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo.
Determine se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e precisamos descobrir se ele é conservativo. Para isso, vamos usar o conceito de campo vetorial conservativo, que basicamente nos diz que o campo pode ser derivado de uma função potencial. A gente vai precisar verificar se as derivadas parciais de
satisfazem uma condição específica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial. No caso, temos:
Essas são as funções que multiplicam os vetores unitários
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa derivar
mantendo
constante:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, derivar
mantendo
constante:
Passo 5
Agora, vamos comparar as duas derivadas que calculamos:
Perceba que elas são iguais!
Resposta
Como
, o campo vetorial
é conservativo.