Seja F(x, y)=x y^2 i+x^2 y j um campo vetorial.
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F(x, y) = x y^2 i + x^2 y j e precisamos descobrir se ele é conservativo. Para isso, vamos usar o conceito de campo vetorial conservativo, que basicamente nos diz que o campo pode ser derivado de uma função potencial. A gente vai precisar verificar se as derivadas parciais de F satisfazem uma condição específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial. No caso, temos:
P(x, y) = x y^2
Q(x, y) = x^2 y
Essas são as funções que multiplicam os vetores unitários i e j , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de P em relação a y . Isso significa derivar P(x, y) = x y^2 mantendo x constante:
partial Ppartial y = partialpartial y (x y^2) = 2x y

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de Q em relação a x . Ou seja, derivar Q(x, y) = x^2 y mantendo y constante:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 y) = 2x y

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas derivadas que calculamos:
partial Ppartial y = 2x y
partial Qpartial x = 2x y
Perceba que elas são iguais!

Resposta

Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo vetorial F(x, y) = x y^2 i + x^2 y j é conservativo.

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