Derive:
y=sen(x)arctan (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = sin(x)arctan(2x)
Para isso vamos usar a regra do quociente, a derivada de sin(x) e a derivada de arctan(u) junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos o numerador f(x)=sin(x) e o denominador g(x)=arctan(2x).
  • Pela regra básica:
    f'(x)=cos(x).
  • Pela derivada de arctan(u) e regra da cadeia, com u=2x: g'(x) =ddxl[arctan(2x)r] =u'1+u^2 =21+(2x)^2 =21+4x^2

Passo 3

Aplicando a regra do quociente
y' = f'(x),g(x) - f(x),g'(x)l[g(x)r]^2,
substituímos f,f',g,g':
y' = cos(x),arctan(2x) ;-;sin(x),dfrac21+4x^2 l[arctan(2x)r]^2

Passo 4

Podemos reescrever a fração de forma combinada:
y' = cos(x),arctan(2x) - dfrac2,sin(x)1+4x^2 l[arctan(2x)r]^2

Resposta

y' = cos(x),arctan(2x) - dfrac2,sin(x)1+4x^2l[arctan(2x)r]^2

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