Calcule integralegral triplaE e^x^2+y^2+z^2raizx^2+y^2+z^2 d V, onde E é a região limitada pelas superfícies de equações x^2+y^2+z^2=1, z^2=3 x^2+3 y^2 e z^2=2 x^2+2 y^2. (Use coordenadas esféricas)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral
integral triplaEe^x^2+y^2+z^2raizx^2+y^2+z^2,dV
onde E é a região limitada pela esfera x^2+y^2+z^2=1 e pelos cones
z^2=3(x^2+y^2) e z^2=2(x^2+y^2)
O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas e uso de integrais separáveis.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. A integranda fica
e^rho^2rhocdotrho^2sinphi =rho,e^rho^2sinphi

Passo 3

Os cones z^2=k(x^2+y^2) dão
cos^2phi=ksin^2phi ;Longrightarrow; tan^2phi=tfrac1k ;Longrightarrow; phi=arctan!l(tfrac1raizkr)
Para k=3 temos phi1=arctan(1/raiz3), e para k=2 temos phi2=arctan(1/raiz2). Portanto
0<=theta<=2pi, phi1<=phi<=phi2, 0<=rho<=1

Passo 4

O integral separa-se em
integral0^2pidtheta ;times; integralphi1^phi2sinphi,dphi ;times; integral0^1rho,e^rho^2,drho

Passo 5

Calculemos o integral radial:
integral0^1rho,e^rho^2,drho =tfrac12integral0^1e^u,du (u=rho^2) ;=; tfrac12l[e^ur]0^1 =tfrace-12

Passo 6

Calculemos o integral em phi:
integralphi1^phi2sinphi,dphi =l[-cosphir]phi1^phi2 =cosphi1-cosphi2
Mas cosl(arctan(1/raizk)r)=raiztfrackk+1. Logo
cosphi1=raiztfrac34=tfracraiz32, cosphi2=raiztfrac23
Então
cosphi1-cosphi2 =tfracraiz32-raiztfrac23

Passo 7

Por fim,
integral0^2pidtheta=2pi
Multiplicando tudo:
2pi;times;l(tfracraiz32-raiztfrac23r);times;tfrace-12 =pi,(e-1),l(tfracraiz32-raiztfrac23r)
Podemos escrever
tfracraiz32-raiztfrac23 =3raiz3-2raiz66,
logo o resultado final é
pi,(e-1)6,(3raiz3-2raiz6)

Resposta

pi,(e-1)6,l(3raiz3-2raiz6r)

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