Resolver a inequação-quociente
-x^2+4 x-3-x+2 >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação quociente:
-x^2+4x-3-x+2 >= 0
Aqui, estamos lidando com uma inequação racional, que é basicamente uma fração envolvendo polinômios. Para resolver, a gente vai precisar identificar os pontos onde o numerador e o denominador são zero, pois esses pontos vão nos ajudar a dividir a reta numérica em intervalos para testar onde a inequação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de x que fazem o numerador ser zero:
-x^2 + 4x - 3 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos multiplicar os dois lados por -1 para facilitar:
x^2 - 4x + 3 = 0
Fatorando:
(x - 1)(x - 3) = 0
Então, as soluções são x = 1 e x = 3 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de x que faz o denominador ser zero:
-x + 2 = 0 implies x = 2
Esse valor x = 2 é importante porque a fração fica indefinida aqui, então não podemos incluir x = 2 na solução.

Passo 4

Com esses pontos críticos x = 1 , x = 2 e x = 3 , vamos dividir a reta numérica em intervalos:
  • (-infty, 1)
  • (1, 2)
  • (2, 3)
  • (3, +infty)
Vamos testar um valor de x em cada intervalo para ver se a inequação é satisfeita.

Passo 5

Intervalo 1: x = 0
-(0)^2 + 4(0) - 3-0 + 2 = -32 = -1.5 (menor que 0)
Não satisfaz >= 0.
Intervalo 2: x = 1.5
-(1.5)^2 + 4(1.5) - 3-1.5 + 2 = -2.25 + 6 - 30.5 = 0.750.5 = 1.5 (maior que 0)
Satisfaz >= 0.
Intervalo 3: x = 2.5
-(2.5)^2 + 4(2.5) - 3-2.5 + 2 = -6.25 + 10 - 3-0.5 = 0.75-0.5 = -1.5 (menor que 0)
Não satisfaz >= 0.
Intervalo 4: x = 4
-(4)^2 + 4(4) - 3-4 + 2 = -16 + 16 - 3-2 = -3-2 = 1.5 (maior que 0)
Satisfaz >= 0.

Passo 6

Agora, vamos considerar os pontos onde o numerador é zero ( x = 1 e x = 3 ) e verificar se eles fazem a inequação ser verdadeira:
  • Em x = 1 :
01 = 0 (igual a 0, satisfaz $>= 0$)
  • Em x = 3 :
0-1 = 0 (igual a 0, satisfaz $>= 0$)
Em x = 2 , a fração é indefinida, então não incluímos esse ponto.

Resposta

A solução da inequação é:
x in [1, 2) cup [3, +infty)

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