Resolver a inequação-quociente
x-2x-3 >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação quociente x-2x-3 >= 0. Aqui, trabalharemos com razões algébricas e inequações. Para resolver, precisamos entender quando o quociente x-2x-3 é maior ou igual a zero. Ou seja, quando ele é positivo ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores críticos, que são os pontos onde o numerador ou o denominador é zero. Isso nos ajuda a dividir a reta numérica em intervalos para testar:
  • Numerador: x - 2 = 0 Rightarrow x = 2
  • Denominador: x - 3 = 0 Rightarrow x = 3
Então, nossos valores críticos são x = 2 e x = 3.

Passo 3

Agora, vamos dividir a reta numérica em três intervalos usando esses valores críticos:
  1. x < 2
  2. 2 < x < 3
  3. x > 3
Vamos analisar o sinal da fração x-2x-3 em cada intervalo.

Passo 4

Intervalo 1: x < 2
  • Numerador: x - 2 é negativo.
  • Denominador: x - 3 é negativo.
  • Fração: Negativo dividido por Negativo dá Positivo.
Então, x-2x-3 > 0 nesse intervalo.

Passo 5

Intervalo 2: 2 < x < 3
  • Numerador: x - 2 é positivo.
  • Denominador: x - 3 é negativo.
  • Fração: Positivo dividido por Negativo dá Negativo.
Neste caso, x-2x-3 < 0.

Passo 6

Intervalo 3: x > 3
  • Numerador: x - 2 é positivo.
  • Denominador: x - 3 é positivo.
  • Fração: Positivo dividido por Positivo dá Positivo.
Aqui, x-2x-3 > 0.

Passo 7

Agora, vamos considerar os pontos críticos:
  • Em x = 2, a fração é zero ( 0-1 = 0).
  • Em x = 3, a fração não está definida, pois o denominador é zero.

Passo 8

Com base nos intervalos e nos pontos críticos, a inequação x-2x-3 >= 0 é satisfeita quando:
  • x < 2 (fração positiva)
  • x = 2 (fração igual a zero)
  • x > 3 (fração positiva)
Não incluímos x = 3 porque a fração não está definida nesse ponto.

Resposta

A solução da inequação x-2x-3 >= 0 é x <= 2 ou x > 3.
Em notação de intervalo:
x in (-infty, 2] cup (3, infty)

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