Determine os valores de potencia mathrmPinfty e energia mathrmEinfty dos sinais abaixo considerando um intervalo de tempo com duração infinita:
x[n]=(14)^n u[n]

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um sinal matemático definido por x[n] = (14)^n u[n] , onde u[n] é a função degrau unitário, que vale 1 para n >= 0 e 0 caso contrário. A gente precisa calcular dois valores importantes desse sinal quando o tempo vai para o infinito: a potência Pinfty e a energia Einfty do sinal. Para isso, vamos usar conceitos de sinais discretos no tempo, especificamente as definições de potência e energia para sinais com duração infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são potência e energia de um sinal. Para sinais com duração infinita, como é o caso aqui, a energia é definida como a soma dos quadrados dos valores do sinal ao longo de todo o tempo, ou seja:
Einfty = sumn=-infty^infty |x[n]|^2
Já a potência é o limite da média da energia conforme o tempo se aproxima do infinito:
Pinfty = limN to infty 12N+1 sumn=-N^N |x[n]|^2
No nosso caso, o sinal x[n] é definido para n >= 0 , então a soma vai ser apenas para n >= 0 .

Passo 3

Vamos calcular a energia Einfty primeiro. Substituindo x[n] na fórmula da energia:
Einfty = sumn=0^infty | (14)^n |^2
Como (14)^n é real e positivo, podemos tirar o módulo:
Einfty = sumn=0^infty (14)^2n = sumn=0^infty (116)^n
Essa é uma série geométrica com razão r = 116 , que é menor que 1. Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é:
sumn=0^infty r^n = 11 - r
Aplicando isso:
Einfty = 11 - 116 = 11516 = 1615

Passo 4

Agora, vamos calcular a potência Pinfty . Usando a fórmula da potência:
Pinfty = limN to infty 12N+1 sumn=0^N (14)^2n = limN to infty 12N+1 sumn=0^N (116)^n
Novamente, temos uma série geométrica com r = 116 . A soma até N termos é:
sumn=0^N r^n = 1 - r^N+11 - r
Substituindo na expressão da potência:
Pinfty = limN to infty 12N+1 cdot 1 - (116)^N+11 - 116 = limN to infty 12N+1 cdot 1 - (116)^N+11516
Simplificando:
Pinfty = limN to infty 1615 cdot 1 - (116)^N+12N+1
À medida que N vai para o infinito, (116)^N+1 tende a zero, então:
Pinfty = limN to infty 1615 cdot 12N+1 = 0
Portanto, a potência do sinal é zero.

Resposta

A energia do sinal é Einfty = 1615 e a potência do sinal é Pinfty = 0 .

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