Calcule integral duplaD(x^2+y^2) d x d y, onde D é a região no primeiro quadrante do plano x y limitada por x^2+y^2=1, x^2+y^2=4, y=x e x=0.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral duplaD(x^2+y^2),dx,dy
onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelos círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, pela reta y=x e pelo eixo x=0. O conteúdo envolve integrais duplas e é mais simples em coordenadas polares, pois as fronteiras são círculos concêntricos e raios fixos.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = rcostheta, y = rsintheta,
e x^2+y^2=r^2. A região D em polares é
1 <= r <= 2,
theta varia de pi/4 (reta y=x) até pi/2 (eixo x=0).

Passo 3

O integrando em polares fica
x^2+y^2=r^2,
e o elemento de área é dx,dy = r,dr,dtheta. Assim a integral se escreve
integral duplaD(x^2+y^2),dx,dy = integraltheta=pi/4^pi/2integralr=1^2r^2cdot r,dr,dtheta = integralpi/4^pi/2integral1^2r^3,dr,dtheta

Passo 4

Compute a integral em r:
integral1^2r^3,dr = [r^44]1^2 = 2^44-1^44 = 16-14 = 154

Passo 5

Agora a integral em theta é constante em relação a theta:
integralpi/4^pi/2154,dtheta = 154l[thetar]pi/4^pi/2 = 154l(tfracpi2-tfracpi4r) = 154cdotpi4 = 15pi16

Resposta

15pi16

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