Mostre as seguintes propriedades:
Se g(x)=sumn=0^infty an x^n possui raio de convergência r>0, então, para k, l=0,1,2, ldots
(alpha x^k+beta x^l) g(x)=alpha sumn=k^infty an-k x^n+beta sumn=l^infty an-l x^n

Passo 1

O enunciado fala de uma série de potências
g(x)=sumn=0^inftyanx^n
com raio de convergência r>0, e pede para mostrar que, para quaisquer inteiros k,l>=0 e escalares alpha,beta, vale
l(alpha x^k+beta x^lr),g(x) ;=;alphasumn=k^inftyan-kx^n ;+;betasumn=l^inftyan-lx^n
O que vamos usar é a propriedade de que multiplicar uma série de potências por x^k apenas desloca os índices, e em seguida somar as duas expansões.

Passo 2

Começamos com o termo alpha x^kg(x). Escrevendo:
alpha x^kg(x) =alpha x^ksumn=0^inftyanx^n =alphasumn=0^inftyanx^n+k
Agora fazemos a troca de índice m=n+k. Quando n varia em 0,1,2,dots, m varia em k,k+1,k+2,dots. Assim
alphasumn=0^inftyanx^n+k =alphasumm=k^inftyam-kx^m

Passo 3

De modo análogo, para beta x^lg(x) obtemos
beta x^lg(x) =beta x^lsumn=0^inftyanx^n =betasumn=0^inftyanx^n+l =betasumm=l^inftyam-lx^m

Passo 4

Bastou agora somar as duas expressões obtidas:
(alpha x^k+beta x^l)g(x) =alphasumn=k^inftyan-kx^n +betasumn=l^inftyan-lx^n,
que é exatamente o que se pedia demonstrar.

Resposta

(alpha x^k+beta x^l)g(x) =alphasumn=k^inftyan-kx^n +betasumn=l^inftyan-lx^n

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