Mostre as seguintes propriedades:
Se
possui raio de convergência
, então, para
Se
Passo 1
O enunciado fala de uma série de potências
com raio de convergência
, e pede para mostrar que, para quaisquer inteiros
e escalares
, vale
O que vamos usar é a propriedade de que multiplicar uma série de potências por
apenas desloca os índices, e em seguida somar as duas expansões.
Passo 2
Começamos com o termo
. Escrevendo:
Agora fazemos a troca de índice
. Quando
varia em
,
varia em
. Assim
Passo 3
De modo análogo, para
obtemos
Passo 4
Bastou agora somar as duas expressões obtidas:
que é exatamente o que se pedia demonstrar.