Expresse o produto escalar entre dois vetores em termos de suas componentes covariantes e contravariantes.
Passo 1
O enunciado pede que a gente expresse o produto escalar entre dois vetores em termos de suas componentes covariantes e contravariantes. O conteúdo aqui é álgebra de tensores e geometria diferencial básica: vamos usar o tensor métrico
(e seu inverso
) para relacionar componentes com índices para cima (contravariantes) e para baixo (covariantes).
Passo 2
Definimos para um vetor
as componentes contravariantes
e as covariantes por meio do tensor métrico:
Isso serve para “levantar” e “abaixar” índices.
Passo 3
O produto escalar de dois vetores
e
é um escalar obtido pela contração das suas componentes com o tensor métrico. Assim,
Usando a definição de
ou de
, isso pode também ser escrito como