Expresse o produto escalar entre dois vetores em termos de suas componentes covariantes e contravariantes.

Passo 1

O enunciado pede que a gente expresse o produto escalar entre dois vetores em termos de suas componentes covariantes e contravariantes. O conteúdo aqui é álgebra de tensores e geometria diferencial básica: vamos usar o tensor métrico gij (e seu inverso g^ij) para relacionar componentes com índices para cima (contravariantes) e para baixo (covariantes).

Passo 2

Definimos para um vetor v as componentes contravariantes v^i e as covariantes por meio do tensor métrico:
vi ;=; gij,v^j e, inversamente, v^i ;=; g^ij,vj
Isso serve para “levantar” e “abaixar” índices.

Passo 3

O produto escalar de dois vetores v e w é um escalar obtido pela contração das suas componentes com o tensor métrico. Assim,
v!cdot!w ;=; gij,v^i,w^j
Usando a definição de wi ou de vi, isso pode também ser escrito como
v!cdot!w ;=; v^i,wi ou v!cdot!w ;=; vi,w^i

Resposta

v!cdot!w ;=; gij,v^i,w^j ;=; v^i,wi ;=; vi,w^i

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