Determine qual o raio do maior círculo no plano complexo, com centro na origem, tal que as equações abaixo possuem solução geral em série de potências:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem legal:
O objetivo é descobrir qual é o raio do maior círculo no plano complexo, centrado na origem, onde essa equação tem solução geral em série de potências. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre pontos singulares e como eles afetam o raio de convergência das séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da equação diferencial. Pontos singulares são valores de
onde os coeficientes da equação não são analíticos (por exemplo, onde eles se tornam zero ou infinitos).
Na nossa equação, os coeficientes são:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Os pontos singulares acontecem quando o coeficiente de
é zero, porque aí a equação pode não ser bem-comportada. Então, vamos resolver:
Passo 3
Vamos resolver a equação
:
-
⇒ -
: Para resolver essa quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos singulares são
,
, e
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar o raio de convergência da série de potências centrada na origem (
). Esse raio é a distância até o ponto singular mais próximo da origem no plano complexo.
Vamos calcular as distâncias desses pontos singulares até a origem:
- Para
:
-
Para
: A distância é o módulo do número complexo:
-
Para
: Também:
Passo 5
O raio de convergência é determinado pela menor distância até um ponto singular. Aqui, temos duas distâncias iguais de aproximadamente
e uma de
.
Portanto, o ponto singular mais próximo da origem está a uma distância de
.
Resposta
O raio do maior círculo é
.