Determine qual o raio do maior círculo no plano complexo, com centro na origem, tal que as equações abaixo possuem solução geral em série de potências:
(x+2)(x^2-2 x+2) y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem legal:
(x+2)(x^2-2x+2) y'' - 4x y' + 6 y = 0
O objetivo é descobrir qual é o raio do maior círculo no plano complexo, centrado na origem, onde essa equação tem solução geral em série de potências. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre pontos singulares e como eles afetam o raio de convergência das séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da equação diferencial. Pontos singulares são valores de x onde os coeficientes da equação não são analíticos (por exemplo, onde eles se tornam zero ou infinitos).
Na nossa equação, os coeficientes são:
  • Coeficiente de y'': (x+2)(x^2-2x+2)
  • Coeficiente de y': -4x
  • Coeficiente de y: 6
Os pontos singulares acontecem quando o coeficiente de y'' é zero, porque aí a equação pode não ser bem-comportada. Então, vamos resolver:
(x+2)(x^2-2x+2) = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação (x+2)(x^2-2x+2) = 0:
  1. x + 2 = 0 x = -2
  2. x^2 - 2x + 2 = 0:
    Para resolver essa quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 22 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 82 = 2 pm raiz-42 = 1 pm i
Então, os pontos singulares são x = -2, x = 1 + i, e x = 1 - i.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o raio de convergência da série de potências centrada na origem ( x = 0). Esse raio é a distância até o ponto singular mais próximo da origem no plano complexo.
Vamos calcular as distâncias desses pontos singulares até a origem:
  1. Para x = -2:
| -2 - 0 | = 2
  1. Para x = 1 + i:
    A distância é o módulo do número complexo:
|1 + i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 approx 1,414
  1. Para x = 1 - i:
    Também:
|1 - i| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2 approx 1,414

Passo 5

O raio de convergência é determinado pela menor distância até um ponto singular. Aqui, temos duas distâncias iguais de aproximadamente 1,414 e uma de 2.
Portanto, o ponto singular mais próximo da origem está a uma distância de raiz2.

Resposta

O raio do maior círculo é raiz2.

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