Mostre as seguintes propriedades:
Se
possui raio de convergência
e
possui raio do convergência
, então para todo número
e
possui raio de convergência pelo menos para
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se a gente tem duas séries de potências,
com raio de convergência
e
com raio de convergência
, então qualquer combinação linear dessas séries, tipo
, também tem um raio de convergência que é pelo menos o menor entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é raio de convergência e como ele se comporta quando combinamos séries.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é raio de convergência. O raio de convergência de uma série de potências, como
, é o valor
tal que a série converge para todo
com
e diverge para
. O mesmo vale para
com raio
.
Passo 3
Agora, queremos analisar a combinação
. Substituindo as séries, temos:
Então, a nova série é
, onde
.
Passo 4
Para encontrar o raio de convergência dessa nova série, vamos usar o critério do limite. Esse critério diz que o raio de convergência
de uma série
pode ser encontrado por:
Passo 5
Vamos aplicar isso aos nossos coeficientes
. Temos:
Usando essa desigualdade, podemos dizer que:
Passo 6
Agora, aplicando o limite superior:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Simplificando, já que
e
tendem a 1 quando
cresce, temos:
Onde
, já que
e
.
Resposta
Portanto, o raio de convergência da série
é pelo menos
.