Mostre as seguintes propriedades:
Se g(x)=sumn=0^infty an x^n possui raio de convergência r1>0 e h(x)=sumn=0^infty bn x^n possui raio do convergência r2>0, então para todo número alpha e beta
alpha g(x)+beta h(x)=sumn=0^infty(alpha an+beta bn) x^n
possui raio de convergência pelo menos para r=min r1, r2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se a gente tem duas séries de potências, g(x) = sumn=0^infty an x^n com raio de convergência r1 e h(x) = sumn=0^infty bn x^n com raio de convergência r2 , então qualquer combinação linear dessas séries, tipo alpha g(x) + beta h(x) , também tem um raio de convergência que é pelo menos o menor entre r1 e r2 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é raio de convergência e como ele se comporta quando combinamos séries.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é raio de convergência. O raio de convergência de uma série de potências, como g(x) , é o valor r1 tal que a série converge para todo x com |x| < r1 e diverge para |x| > r1 . O mesmo vale para h(x) com raio r2 .

Passo 3

Agora, queremos analisar a combinação alpha g(x) + beta h(x) . Substituindo as séries, temos:
alpha g(x) + beta h(x) = alpha sumn=0^infty an x^n + beta sumn=0^infty bn x^n = sumn=0^infty (alpha an + beta bn) x^n
Então, a nova série é sumn=0^infty cn x^n , onde cn = alpha an + beta bn .

Passo 4

Para encontrar o raio de convergência dessa nova série, vamos usar o critério do limite. Esse critério diz que o raio de convergência r de uma série sum cn x^n pode ser encontrado por:
1r = limsupn to infty |cn|^1/n

Passo 5

Vamos aplicar isso aos nossos coeficientes cn = alpha an + beta bn . Temos:
|cn| = |alpha an + beta bn| <= |alpha||an| + |beta||bn|
Usando essa desigualdade, podemos dizer que:
|cn|^1/n <= (|alpha||an| + |beta||bn|)^1/n

Passo 6

Agora, aplicando o limite superior:
limsupn to infty |cn|^1/n <= limsupn to infty (|alpha||an| + |beta||bn|)^1/n
Sabemos que limsup (An + Bn)^1/n <= maxlimsup An^1/n, limsup Bn^1/n , então:
limsupn to infty |cn|^1/n <= max limsup | alpha an |^1/n, limsup | beta bn |^1/n

Passo 7

Simplificando, já que |alpha|^1/n e |beta|^1/n tendem a 1 quando n cresce, temos:
limsupn to infty |cn|^1/n <= max limsup |an|^1/n, limsup |bn|^1/n = 1r
Onde r = min r1, r2 , já que limsup |an|^1/n = 1r1 e limsup |bn|^1/n = 1r2 .

Resposta

Portanto, o raio de convergência da série alpha g(x) + beta h(x) é pelo menos r = min r1, r2 .

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