Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é um retângulo definido por e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como integrar funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral dupla representa o volume sob a superfície da função sobre a região . No nosso caso, .
Passo 3
Vamos decidir a ordem de integração. Podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Vou optar por integrar em relação a primeiro.
Passo 4
Então, a integral fica:
Vou focar na parte interna primeiro, que é .
Passo 5
Para resolver , vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher e . Assim, precisamos encontrar e .
Passo 6
Calculando:
E para encontrar , integramos :
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes.
Passo 7
Aplicando:
Aí, a segunda integral é simples de resolver.
Passo 8
Integrando em relação a :
Então, substituindo de volta:
Passo 9
Agora, voltamos aos limites de de a :
Simplificando:
Passo 10
Agora, temos que integrar essa expressão em relação a de a :