Calcule:
integral duplaB x sen(x+y) d x d y, onde B é o retângulo 0 <= x <= pi6, 0 <= y <= pi3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O exercício pede para calcular a integral dupla de x sin(x + y) sobre a região B , que é um retângulo definido por 0 <= x <= pi6 e 0 <= y <= pi3 . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como integrar funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy representa o volume sob a superfície da função f(x, y) sobre a região B . No nosso caso, f(x, y) = x sin(x + y) .

Passo 3

Vamos decidir a ordem de integração. Podemos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y , ou vice-versa. Vou optar por integrar em relação a x primeiro.

Passo 4

Então, a integral fica:
integral0^pi3 ( integral0^pi6 x sin(x + y) , dx ) dy
Vou focar na parte interna primeiro, que é integral0^pi6 x sin(x + y) , dx .

Passo 5

Para resolver integral x sin(x + y) , dx , vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher u = x e dv = sin(x + y) , dx . Assim, precisamos encontrar du e v .

Passo 6

Calculando:
du = dx
E para encontrar v , integramos dv :
v = integral sin(x + y) , dx = -cos(x + y) + C
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes.

Passo 7

Aplicando:
integral x sin(x + y) , dx = -x cos(x + y) + integral cos(x + y) , dx
Aí, a segunda integral integral cos(x + y) , dx é simples de resolver.

Passo 8

Integrando cos(x + y) em relação a x :
integral cos(x + y) , dx = sin(x + y) + C
Então, substituindo de volta:
integral x sin(x + y) , dx = -x cos(x + y) + sin(x + y) + C

Passo 9

Agora, voltamos aos limites de x de 0 a pi6 :
[ -x cos(x + y) + sin(x + y) ]0^pi6 = -pi6 cos(pi6 + y) + sin(pi6 + y) - ( -0 cos(y) + sin(y) )
Simplificando:
-pi6 cos(pi6 + y) + sin(pi6 + y) - sin(y)

Passo 10

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a y de 0 a pi3 :
integral0^pi3 ( -pi6 cos(pi6 + y) + sin(pi6 + y) - sin(y) ) dy
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 11

Integrando termo a termo:
  1. Para -pi6 cos(pi6 + y) :
-pi6 integral cos(pi6 + y) dy = -pi6 sin(pi6 + y) + C
  1. Para sin(pi6 + y) :
integral sin(pi6 + y) dy = -cos(pi6 + y) + C
  1. Para -sin(y) :
-integral sin(y) dy = cos(y) + C

Passo 12

Combinando todos os termos:
-pi6 sin(pi6 + y) - cos(pi6 + y) + cos(y) g|0^pi3

Passo 13

Agora, avaliamos de 0 a pi3 :
Para y = pi3 :
-pi6 sin(pi6 + pi3) - cos(pi6 + pi3) + cos(pi3)
Simplificando:
-pi6 sin(pi2) - cos(pi2) + cos(pi3) = -pi6(1) - 0 + 12 = -pi6 + 12
Para y = 0 :
-pi6 sin(pi6) - cos(pi6) + cos(0)
Simplificando:
-pi6(12) - (raiz32) + 1 = -pi12 - raiz32 + 1

Passo 14

Subtraindo as duas avaliações:
( -pi6 + 12 ) - ( -pi12 - raiz32 + 1 ) = -pi6 + 12 + pi12 + raiz32 - 1
Simplificando os termos:
-pi6 + pi12 + 12 - 1 + raiz32 = -pi12 - 12 + raiz32

Passo 15

Podemos fatorar o 12 :
-pi12 + raiz3 - 12

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:
-pi12 + raiz3 - 12

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