Determine o que se pede sobre as funções dadas abaixo.
Determine e esboce o domínio de f(x, y, z)=x^3 y^2 z raiz10-x-y-z.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=x^3y^2zraiz,10 - x - y - z,
e pede o domínio e seu esboço. Aqui o conteúdo principal é a determinação de domínio em R^3 usando a condição de existência da raiz quadrada.

Passo 2

Para que raiz,10 - x - y - z, esteja bem definida como número real, precisamos ter
10 - x - y - z ;>=;0

Passo 3

Logo, o domínio D de f é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) tais que
x + y + z ;<=;10
Em notação:
D ;=;(x,y,z)inR^3mid x+y+z<=10

Passo 4

Geométricamente, a equação
x+y+z=10
é um plano que intercepta os eixos coordenados nos pontos
(10,0,0), (0,10,0) e (0,0,10). O domínio é o semiespaço fechado que fica do lado da origem, isto é, todos os pontos “abaixo” desse plano.

Passo 5

Para esboçar o domínio:
  1. Desenhe o triângulo de interseção do plano com os eixos em (10,0,0), (0,10,0) e (0,0,10).
  2. Sombreie a região do lado que contém a origem (0,0,0), pois ali x+y+z<10.
    O semiespaço inclui também o próprio triângulo (caso de igualdade).

Resposta

D = l(x,y,z)inR^3 mid x + y + z <= 10r

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