Determine e esboce o domínio da função dada abaixo.
f(x, y, z)=1raizx^2-y^2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=1raizx^2-y^2
e pede seu domínio em R^3. Como na expressão temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos garantir ao mesmo tempo que o radicando seja não-negativo (para a raiz existir) e que o denominador não zere (para não haver divisão por zero).

Passo 2

Para existir raizx^2-y^2 é necessário
x^2 - y^2 >= 0,
e como esse resultado fica no denominador, deve valer na verdade
x^2 - y^2 > 0

Passo 3

Resolver x^2 - y^2>0 equivale a
x^2 > y^2 Long<=ftrightarrow |x| > |y|
Isto gera duas regiões disjuntas no plano xy:
  1. x > |y| (setor em torno do eixo x positivo)
  2. x < -|y| (setor em torno do eixo x negativo)

Passo 4

Não há nenhuma condição envolvendo z, logo o domínio em R^3 é
D = (x,y,z)inR^3 mid x^2 - y^2 > 0 =(x,y,z)inR^3 mid |x|>|y|

Passo 5

Para esboçar, projete o domínio no plano xy: trace as retas
y = x e y = -x
e sombreie os dois setores onde |x|>|y|, isto é, perto do eixo x tanto para x>0 quanto para x<0. Em seguida imagine esses setores “fatiados” estendidos em todas as alturas z, formando duas cavidades infinitas paralelas ao eixo z.

Resposta

D = (x,y,z)inR^3 mid x^2 - y^2 > 0 = (x,y,z)inR^3 mid |x| > |y|

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